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ISSN : 1226-525X(Print)
ISSN : 2234-1099(Online)

Journal of the Earthquake Engineering Society of Korea Vol.27 No.4 pp.163-170
DOI : https://doi.org/10.5000/EESK.2023.27.4.163

Acoustic Interface Element on Nonconformal Finite Element Mesh for Fluid-Structure Interaction Problem

Cho Jeong-Rae¹⁾

, Lee Jin Ho^2)*

, Cho Keunhee³⁾, Yoon Hyejin⁴⁾

¹⁾Senior Research Fellow, Department of Structural Engineering Research, Korea Institute of Civil Engineering and Building Technology
²⁾Associate Professor, Department of Ocean Engineering, Pukyong National University
³⁾Research Fellow, Department of Structural Engineering Research, Korea Institute of Civil Engineering and Building Technology

^*Corresponding author: Lee, Jin Ho E-mail: jholee0218@pknu.ac.kr

Received March 23, 2023 Review April 27, 2023 Accepted April 28, 2023

Abstract

In the fluid-structure interaction analysis, the finite element formulation is performed for the wave equation for dynamic fluid pressure, and the dynamic pressure is defined as a degree of freedom at the fluid nodes. Therefore, to connect the fluid to the structure, it is necessary to connect the degree of freedom of fluid dynamic pressure and the degree of freedom of structure displacement through an interface element derived from the relationship between dynamic pressure and displacement. The previously proposed fluid-structure interface elements use conformal finite element meshes in which the fluid and structure match. However, it is challenging to construct conformal meshes when complex models, such as water purification plants and wastewater treatment facilities, are models. Therefore, to increase modeling convenience, a method is required to model the fluid and structure domains by independent finite element meshes and then connect them. In this study, two fluid-structure interface elements, one based on constraints and the other based on the integration of nonsmooth functions, are proposed in nonconformal finite element meshes for structures and fluids, and their accuracy is verified.

Key Words : Fluid-structure interaction , Nonconformal finite element mesh , Acoustic interface element , Environmental facility

비적합 유한요소망에 적용가능한 유체-구조물 연결 요소

조정래¹⁾

, 이진호^2)*

, 조근희³⁾, 윤혜진⁴⁾

¹⁾한국건설기술연구원 구조연구본부 선임연구위원
²⁾부경대학교 해양공학과 부교수
³⁾한국건설기술연구원 구조연구본부 연구위원

초록

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1. 서 론

2016년 경주지진과 2017년 포항지진에서 알수 있듯이 우리나라는 더 이상 지진에 대한 안전지대가 아니다. 특히 2017년 포항 지진시 3개의 정수 장, 2개의 하수처리장에서 발생한 손상은 경주지진 이후 추진된 내진설계 기준 정비와 함께 환경 시설물에 대한 내진 안전성을 확보하는 노력이 필요 함을 시사하고 있다. 정수장 및 하폐수처리시설과 같은 환경시설물은 타 시 설물과 달리 물로 채워진 수조가 주요 시설물이므로 정확한 해석과 평가를 위해서는 유체-구조물 상호작용의 고려가 필요하다[1, 2].

지진을 고려한 유체-구조물 상호작용 해석에서 유체는 동압력에 대한 파 동방정식을 대상으로 유한요소 정식화를 수행하므로 유체의 절점에서는 동 압력이 자유도로 정의된다. 구조물 모델에 변위 자유도를 갖는 일반 유한요 소를 적용한다면, 유체 및 구조물 유한요소망을 연결하기 위한 연결 요소가 필요하게 된다. Cook[3]은 동압력을 변수로 갖는 파동방정식에 근거한 유체 요소 및 유체-고체 연결요소에 대한 정식화가 소개하고 있으며, ABAQUS 등에서도 유사한 형태의 정식화[4]가 도입되었다. 이들 정식화는 유체 및 고 체 영역의 경계면에서 유한요소망은 서로 일치되는 형태이다. 하지만 정수장 및 하폐수처리시설과 같이 복잡한 형상을 갖는 구조의 경우 유체와 고체를 대 상으로 일치하는 유한요소망을 구성하는 것은 쉽지 않다. 따라서 유체 및 고 체 영역을 독립적인 유한요소망으로 모델링한 후 경계면에서 형성되는 비적 합 유한요소망을 대상으로 유체와 구조물을 연결할 필요가 있다.

본 연구에서는 구조물과 유체의 경계면에서 형성된 비적합 유한요소망을 대 상으로 구속조건에 근거한 연결 요소와 비평활(nonsmooth) 함수의 적분에 근 거한연결요소등두가지연결 요소를제안하고, 그적용성을검증하고자한다.

2. 유체-구조물 연결 요소 정식화

2.1 기존 방식

유체-구조물 상호작용 해석시에는 유체는 동압력에 대한 파동방정식을 적용한다. 유한요소 정식화를 수행하면 다음과 같이 유체 영역에 적용가능 한 이산화된 지배방정식을 구할 수 있다.

M_{p} \ddot{p} + C_{p} \dot{p} + K_{p} p = F_{p}

(1)

여기에서 p는 절점 동압력 벡터, M_p , C_p , K_p는 대응하는 질량, 감쇠, 강성 행렬이고, F_p는 동압력에 대응하는 절점 하중이다. 구조물 영역에 대한 유 한요소 지배방정식은 다음과 같다.

M \ddot{u} + C \dot{u} + K u = F

(2)

여기에서 u는 절점 변위 벡터, M, C, K는 질량, 감쇠, 강성 행렬이고, F는 절점 하중 벡터이다. 유체-구조물 상호작용계의 지배방정식은 식 (1), (2)에 다음의 경계면에서의 조건을 부과하여 구성할 수 있다.

\frac{\partial p}{\partial n} = - ρ {\ddot{u}}_{n}

(3)

여기에서 p, u는 동압력 및 변위, n은 법선방향, ρ는 압력을 의미한다. 경계 면에서 형상함수를 적용하고, 식 (3)의 경계면 조건을 부과한 후 유체 및 구 조물 측의 상호작용하중벡터를 계산하여 식 (1), (2)에 적용하면 다음과 같 이 비대칭 질량 및 강성 행렬을 가지는 유체—구조물 상호작용계의 지배방 정식을 구할 수 있다.

[\begin{matrix} M & 0 \\ S & M_{p} \end{matrix}] [\begin{matrix} \ddot{u} \\ \ddot{p} \end{matrix}] + [\begin{matrix} C & 0 \\ 0 & C_{p} \end{matrix}] [\begin{matrix} \dot{u} \\ \dot{p} \end{matrix}] + [\begin{matrix} K & - S^{T} \\ 0 & K_{p} \end{matrix}] [\begin{matrix} u \\ p \end{matrix}] = [\begin{matrix} F \\ 0 \end{matrix}]

(4)

식 (4) 유도시 유체 영역의 작용하는 절점 동압력은 경계면에서만 존재 한다고 가정하였다. 행렬 S가 유체와 구조물 연결에 기여하는 행렬로서 다 음과 같다.

S = [S_{I J}]; S_{I J} = \int_{Γ} N_{I} n^{T} N_{J}^{S} d Γ

(5)

여기에서, N 와 N^S는 각각 경계면에서 유체와 구조물의 형상함수이고, $n^{T} = [n_{x} n_{y} n_{z}]$ 은 경계면에서의 구조물 영역 외부로의 법선 벡터이다.

Cook[3], ABAQUS[4] 등에서 제시하는 연결요소는 구조물과 유체의 일치 또는 공유되는 유한요소망에서 개개의 연결면을 따라 적분하는 방식 을 적용하는 데, 이는 식 (5)에서 서로 동일한 N과 N^F를 사용하는 것을 의 미한다. 즉 다음과 같다.

S = [S_{I J}]; S_{I J} = \int_{Γ} N_{I} n^{T} N_{J} d Γ

(6)

식 (4), (6)의 기존 방식을 사용하는 유체-구조물 연결요소는 Fig. 1과 같 이 유체와 고체가 서로 일치하는 유한요소망을 사용해야 한다. 복잡한 형상 을 갖는 경우 일치하는 유한요소망을 구성하는 것은 쉽지 않다. 따라서 모델 링 편의성을 높이기 위해서는 유체 영역과 구조물 영역을 독립적인 유한요 소망으로 모델링한 후 연결하는 방법이 필요하다. 본 연구에서는 Fig. 2와 같이 구조물과 유체의 비적합 유한요소망에서 구속조건에 근거한 연결요 소와 불연속 함수의 적분에 근거한 연결 요소 등을 이어지는 2개절에서 제 안하였다.

2.2 비평활(nonsmooth) 함수 적분에 근거한 연결요소

식 (6) 대신 식 (5)를 적용하면 유체와 구조물에 독립적인 형상함수를 적 용하는 것이므로 비적합 유한요소망에 바로 적용할 수 있다. 다만 이 경우 연결 행렬 S를 계산하는 적분이 비평활함수의 적분이다. 경계면을 따라 양 측의 형상함수는 piece-wise continuous 함수이다. 따라서 식 (5)의 적분 식 내의 두 형상함수의 곱은 piece-wise continuous 함수이나, 평활(smooth) 하지는 않다. 따라서 적분의 정밀도를 높일 필요가 있다. Park 등[5]의 연구 에 의하면 일차원 적분에서의 적분 오차는 적분점 개수 N일 때 N^-1.82에 비례한다고 제시하고 있다. 이 연구에서는 유체측 요소의 경계면을 따라 적 분을 수행한다. 2차원 2절점 요소 경계면인 경우 5개의 적분점이, 3차원에 서 4절점 요소 경계면인 경우 5×5 Gauss Legendre 적분을, 3절점 요소 경 계면의 경우 12 적분점을 사용한다.

2.3 구속조건에 근거한 연결요소

유체측 경계면의 절점압력에 대응하는 법선 방향 변위 자유도를 내부 자 유도로 생성한 후 이를 구조물측 경계면의 자유도로 구속조건을 통해 연결 하는 방식을 통해 비적합 유한요소망에 대한 유체-구조물 연결이 가능하다. 지배방정식은

[\begin{matrix} M & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & Q & M_{p} \end{matrix}] [\begin{matrix} \ddot{u} \\ {\ddot{u}}_{n} \\ \ddot{p} \end{matrix}] + [\begin{matrix} C & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & C_{p} \end{matrix}] [\begin{matrix} \dot{u} \\ {\dot{u}}_{n} \\ \dot{p} \end{matrix}] + [\begin{matrix} K & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - Q^{T} \\ 0 & 0 & K_{p} \end{matrix}] [\begin{matrix} u \\ u_{n} \\ p \end{matrix}] = [\begin{matrix} F \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

(7)

이고, 이 식은 다음의 구속방정식을 동시에 만족해야 한다.

u_{n} = T u

(8)

여기에서 u_n은 경계면 상의 유체 절점에서 정의되는 법선 방향 자유도 벡 터, u은 구조물의 변위 벡터, T는 구속행렬이다. 경계면에서 유체의 절점 동압력과 u_n을 연결하는 행렬 Q는 다음과 같다.

Q = [Q_{I J}]; Q_{I J} = \int_{Γ} N_{I} N_{J} d Γ

(9)

식 (8)의 구속행렬 T는 법선 방향 자유도 벡터 u_n의 각 점에서 인접한 구 조물의 경계면에서의 위치관계로부터 유도된다. $u_{n} = [u_{I}^{n}], T = [T_{I}]$ 로 표 기할 때, $u_{I}^{n}$ 는 I 번째 유체 경계면에서 정의되는 법선 자유도이고, T_I는 대 응하는 구속행렬이다. 이때 인접한 구조물의 경계면을 구성하는 자유도 벡 터와의 구속조건은 다음과 같이 정의된다(Fig. 3 참조).

u_{I}^{n} = \sum_{J} [n_{I x} n_{I y} n_{I z}] N_{J}^{S} (r) [\begin{matrix} u_{J} \\ υ_{J} \\ w_{j} \end{matrix}] = T_{I} u

(10)

기존 방식과 비교할 때 본 절에서 제시하는 구속조건에 근거한 연결요소 는 더 이상 연결면의 모든 질점에서 동압력과 변위의 관계식을 만족하지 못 하고, 연결면에 존재하는 유체의 절점 단위에서 동압력과 변위의 관계식을 만족하게 된다. 한편, 연결면에서 꺽인 점이 존재하는 경우에는 그 점에서 의 법선벡터는 고유하게 정의할 수 없는데, 본 연구에서는 만나는 면의 법선 벡터의 평균을 그 점에서의 법선 벡터로 가정하였다(Fig. 4 참조).

3. 적용 예제

제안된 비평활 함수 적분에 근거한 연결요소와 구속조건에 근거한 연결 요소를 이용한 방법을 Lee 등[1]에서 해석 예제로 제시한 직사각형 액체저 장탱크의 유체-구조물 상호작용계를 대상으로 고유치 해석과 지진 응답 해 석을 통해 그 정확성을 검증하였다. 탱크 내의 유체는 x, y, z 방향으로 그 치수가 19.6 m × 58.8 m× 11.2 m 이고 8절점 유체요소로 모델링하였다. 4 절점 쉘 요소로 모델링된 두께 1.2 m의 탱크는 중심면을 기준으로 그 치수 가 20.8 m × 60 m × 14.3 m이다(Fig. 5 참조). 유체로는 물을 선택하였으 며 밀도는 1,000 kg/m³이다. 저장 탱크에는 탄성계수 2.0776×10⁶ N/m², 포아송비 0.17, 밀도 2,300 kg/m³을 적용하였다. 유체의 표면에는 표면유 동을 무시하고 동압력으로 0을 부과하였다. Table 1은 해석에 사용된 모델 을 요약한 것이다. S는 구조물, F는 유체, R은 기준모델을, 숫자는 근사적인 요소 크기, I와 C는 각각 비평활 함수 적분과 구속조건에 근거한 연결요소 를 나타낸 것이다. SR-FR은 일치하는 경계면 요소망을 적용한 기준 모델 을 의미한다. S#-F#-I/C은 비적합 경계면 요소망을 적용한 모델이다. 기준 모델(SR-FR)은 구조물에 적용된 쉘 요소 크기가 약 1 m 크기이며, 코너부 에서는 두께를 고려하여 0.6 m를 적용하였다. 유체 요소망은 쉘 요소로 구 성되는 요소망과 일치하도록 이산화하였다. 비적합 경계면 요소망을 적용 할 경우(S#-F#-I/C) 쉘 요소의 크기를 1 m, 2 m, 3 m 등을 적용하였고, 유 체요소는 이보다 더 큰 크기인 2 m, 3 m, 4 m를 적용하였다. 이 경우 S#-F#-I, S#-F#-C 등과 같이 동일한 유한요소망을 대상으로 비적합 유한 요소망의 연결방식에 따른 모델로 구분된다. SR-FR과 동등한 수준의 요소 크기를 적용한 비적합 유한요소망을 적용한 모델은 S1-F1이다. Fig. 6은 SR-FR, S3-F4-I 모델을 도시하고 있다.

고유치 해석은 질량과 강성행렬으로 구성되는 자유 진동 문제를 대상으 로 계산하였으며, 감쇠행렬을 배제하였다. Fig. 7, Fig. 8, Table 2, Table 3 는 구조물과 유체 자체에 대한 고유치 해석 모드 형상과 결과를 저차 모드 3 개에 대해 정리한 것이다. 유체의 경우 계산된 모드 형상이 스칼라 값인 압 력에 대응하므로 컬러매핑형태로 표현한 것이다. Table 4와 Table 5는 연 결방식 I 및 C에 따른 유체-구조물 상호작용계의 고유치 해석 결과 중 저차 모드 3개에 대해 정리한 것이다. 그림으로 표시하지 않았지만 유체-구조물 상호작용계에서 구조물의 모드형상은 Fig. 7에서 제시한 빈 탱크의 모드형 상과 거의 유사하다. 유체-구조물 상호작용 시스템은 식 (4)와 식 (7)에서 확인할 수 있듯이 비대칭 질량 및 강성 행렬이 포함된다. Zienkiewicz 등[6] 은 유체-구조물 상호작용계의 비대칭 행렬 고유치 문제를 추가변수를 도입 하여 대칭 행렬 문제로 변환하는 방법을 제시하고 있으나, 본 연구에선 ARPACK[7]을 사용하여 직접 비대칭 문제에 대한 고유치 해석을 수행하 였다.

기준 모델의 경우 첫 번째 고유진동수는 탱크 구조물(SR) 3.404 Hz, 유 체(FR) 33.06 Hz, 연계된 계(SR-FR) 2.791 Hz이다. 탱크 구조물과 유체 에 대한 고유치 해석결과를 관찰하면 현재 적용한 유한요소망이 1차 고유 진동수를 기준으로 0~1.06%의 고유치 정확도를 확보함을 나타낸다. 구조 물 및 유체 모델이 연계된 계에서는 0~3.58%의 오차 범위를 나타낸다. SR-FR과 비교할 때 비슷한 수준의 요소크기를 적용한 S1-F1-I, S1-F1-C 모델은 오차가 거의 없다. 이는 본 연구에서 제안한 방법론이 정확성을 확보 한 상태에서 편리하게 모델링할 수 있음을 의미한다. 한편 구속조건에 근거 한 연결요소(S#-F#-C)가 비평활 함수 적분을 이용한 연결요소(S#-F#-I) 를 적용한 것보다 조금 더 정밀도가 우수하였으나 그 차이는 미미함을 알 수 있다. 상당히 성긴 유한요소망을 사용하는 S3-F4-I나 S3-F4-C의 경우에 도 3.58%, 2.90% 등과 같이 그 오차 수준이 크지 않음을 알 수 있다. 오차 수준을 2% 정도로 설정하는 경우 S2-F3 정도의 유한요소망을 사용할 수 있는데, 이때의 사용한 요소수는 쉘요소 860개, 유체요소 560개이며, 이는 기준모델의 쉘요소 3,716개, 유체요소 13,200개에 비교하면 상당히 경제 적인 해석모델 구축이 가능함을 의미한다. 구조물과 유체의 경계면에서 형 성된 비적합 유한요소망을 대상으로 사용가능한 연결요소를 적용함으로써 모델링 편의를 도모할 뿐만아니라 경제적인 해석이 가능한 모델을 구축할 수 있다.

지진 응답 해석은 Fig. 9의 1940년 El Centro 지진 지반 운동의 남북성 분을 x 방향으로 가력하여 수행하였다. 지진파는 0.02 초 간격으로 계측된 기록이다. 수치적분으로는 Newmark 법을, 해석시간간격은 지진파 계측 간격과 동일한 0.02초를, 감쇠로는 5%의 Rayleigh 감쇠를 적용하였다. Fig. 10과 Fig.11은 기준 모델(SR-FR)과 이와 동등한 수준의 이산화가 이 루어진 S1-F1-I, S1-F1-C의 상단 변위와 하단 동압력을 비교한 것이다. 기 준 모델과 비교할 때 본 연구에서 제안한 두 방법이 거의 동일한 결과를 보 임을 알 수 있다. Table 6는 상단 변위와 하단 동압력을 대상으로 최대값과 그때의 시각을 정리하여 나타낸 것이다. 최대값 발생 시각은 기준 모델과 동 일하며, 최대 변위와 동압력 모두 1% 미만의 오차를 보인다.

Fig. 12, Fig. 13, Table 7는 기준 모델(SF-FR)에 대하여 약 2% 수준의 1차 고유진동수 오차를 보였던 S2-F3-I, S2-F3-C 모델과 비교한 것이다. 이 때의 최대값을 기준으로 동수압은 3.15% ~ 6.59%까지 상대적으로 큰 오차를 보이나 설계의 대상이 되는 변위는 1차 고유진동수의 오차 수준 보 다 작은 1% 미만의 오차를 보이는 것을 확인할 수 있다.

일반적으로 동적 해석시 다음과 같은 수식에 따라 그 해석모델의 유효한 진동수 대역을 구할 수 있다.

f_{c} = \frac{1}{n} \frac{c}{L}

(11)

여기에서 f_c는 유효한 최대 주파수(Hz), c는 파속, L은 요소 크기, n은 사용 하는 요소에 따른 상수로서 선형요소를 사용시 8~10 정도이다. S2-F3-I/C 모델에서 유체의 경우 압축파 속도가 c=1,480 m/s, 요소크기 L은 3 m, n=10을 적용하면 동해석 문제 관점에서 유체는 약 35 Hz까지 유효한 해 석이라고 할 수 있다. 이는 시간 간격 0.02 sec의 지진파를 적용한 현 모델이 최소한 25 Hz까지 유효한 진동수 대역을 확보할 수 있는 요소 크기로 이산 화해야 함을 감안하면 충분한 수준의 유한요소망 크기라고 할 수 있다.

4. 결 론

유체-구조물 상호작용 해석시에는 유체는 동압력에 대한 파동방정식을 대상으로 유한요소 정식화를 수행하므로 유체의 절점에서는 동압력이 자 유도로 정의된다. 따라서 구조물과 연결하기 위해서는 동압력과 변위와의 관계식을 통해 유도되는 연결요소를 통해 유체의 동압력 자유도와 구조물 의 변위 자유도를 연결할 필요가 있다. 기존에 제안된 연결요소는 유체와 고 체가 서로 일치하는 유한요소망을 사용하지만, 정수장 및 하폐수처리시설 과 같이 복잡한 형상을 갖는 환경시설물을 모델링하는 경우 일치하는 유한 요소망을 구성하는 것은 쉽지 않다. 따라서 모델링 편의성을 높이기 위해서 는 유체 영역과 구조물 영역을 독립적인 유한요소망으로 모델링한 후 연결 하는 방법이 필요하다.

본 연구에서는 구조물과 유체의 비적합 유한요소망에서 구속조건에 근 거한 연결요소와 비평활 함수의 적분에 근거한 연결 요소 등 2가지 연결요 소를 제안하고, 고유진동수 해석 및 지진응답해석 등을 통해 정확성과 효용 성을 검증하였다. 같은 수준의 요소로 이산화를 수행할 경우 일치하는 유한 요소망을 사용하는 모델과 비교할 때 본 연구에서 제안한 두 방법은 해의 정 확성을 확보한 상태에서 편리하게 모델링할 수 있음을 확인하였다. 한편 비 적합 유한요소망을 적용할 경우 일치하는 유한요소망에 비해 기하학적인 제한조건이 제거되어 충분한 정확성을 확보한 상태에서 상대적으로 큰 유 한요소망의 구성이 가능하다. 따라서 본연구에서 제안한 방식을 비적합 유 한요소망에 적용함으로써 모델링 편의를 도모할 뿐만아니라 경제적인 해 석이 가능한 모델을 구축할 수 있다.

/ 감사의 글 /

본 연구는 환경부 재원으로 환경시설 재난재해 대응기술개발사업의 지 원을 받아 연구되었습니다. 이에 감사드립니다(2022002850001).

Figure

Fig. 1.

Fluid-structure interaction problem with conformal mesh

Fig. 2.

Fluid-structure interaction problem with nonconformal mesh

Fig. 3.

Constraint equation in two dimensional interface element

Fig. 4.

Normal vector in bent node of interface element base on constraint

Fig. 5.

Dimensions of rectanglar tank

Fig. 6.

Illustrative fluid-structure interaction system; left is SR-FR, right is S3-F4-I

Fig. 7.

Mode shapes of rectangular tank without water; 1^st, 2^nd, 3^rd mode shape from the left figure

Fig. 8.

Mode shapes of water; 1^st, 2^nd, 3^rd mode shape from the left figure

Fig. 9.

Input ground motion

Fig. 10.

Horizondal displacements in the top center of tank: S1-F1-I/C models

Fig. 11.

Dynamic pressure in the bottom center of water: S1-F1-I/C models

Fig. 12.

Horizondal displacements in the top center of tank: S2-F3-I/C models

Fig. 13.

Dynamic pressure in the bottom center of water: S2-F3-I/C models

Table

Table 1.

Definition of damage patterns in domestic substations for earthquake loss estimation

Table 2.

Natural frequency of structure

Table 3.

Natural frequency of fluid

Table 4.

Natural frequency of coupled system

Table 5.

Natural frequency of coupled system

Table 6.

Peak values: S1-F1-I/C models

Table 7.

Peak values: S2-F3-I/C models

Reference

Lee JH, Cho JR. Simplifid analysis of rectangular liquid storage tanks considering fluid-structure interaction. EESK J. Earthquake Eng. 2022 Sept;26(5):203-209.
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Journal Abbreviation J. Earthq. Eng. Soc. Korea
Frequency Bimonthly
Doi Prefix 10.5000/EESK
Year of Launching 1997
Publisher Earthquake Engineering Society of Korea

Indexed/Tracked/Covered By