1. 서 론

최근 국내에서 규모 있는 지진의 발생으로 내진 해석·설계의 중요성이 커지고 있다. 이러한 내진 해석 설계에 있어 입력하중으로서 지진하중의 산 정은 매우 중요한 요소이다. 특히 주요 구조물이나 특수 구조물의 경우 지진 파 시간이력을 입력하중으로 하는 동적 시간이력 해석을 내진설계 기준에 서 요구하고 있으며, 내진설계기준에서는 이러한 동적시간이력 해석을 위 한 설계 지진파가 가져야할 조건을 제시하고 있다. 먼저 주어진 내진성능수 준에 따라 제시되어 있는 설계응답스펙트럼을 만족하여야 하며, 두 번째로 대상 지역에서 발생 가능한 지진파 특성(대상 지역에서 규모 있는 지진을 유발할 가능성이 있는 단층 특성)을 반영하여야 한다[1, 2]. 단층에서 발생 하는 지진파와 관련된 많은 연구가 수행되어 있으나, 단층에서 발생하는 지 진파들 사이의 관계와 관련된 연구는 주로 scaling relationship 과 관련된 연구로, 지진발생과 관련된 단층 요소(파열 길이 그리고 폭, 미끄러짐 지속 시간 등)사이의 비에 따른 발생하는 지진의 에너지 비[3, 4] 또는 이에 따른 발생 지진파들 스펙트럼 사이의 관계[3-7]에 관한 연구이다. 이에 반하여 발생 가능한 지진파 시간이력 형태 사이의 연구는 상대적으로 많이 이루어 져 있지 않다[3]. 중요구조물 내진 해석 설계에서 수행되는 동적 시간이력 해석에서는 입력 지진파 형태가 동적 거동에 영향을 주게 되며, 적절한 형태 의 지진파 시간이력의 결정이 필요하다. 따라서 국내에서 규모 있는 지진이 발생 가능한 단층에서 유발 가능한 지진파 시간이력 형태 사이의 근사적인 관계를 표현할 수 있다면 계측 되었던 지진파 시간이력으로부터 대상 단층 에서 발생 가능한 지진파들의 형태를 결정할 수 있으며, 이를 통해 보다 신 뢰성 있는 중요 구조물 내진 해석 및 설계가 가능할 것이다. 본 연구에서는 단층에서 발생했던 지진파 시간이력을 사용하여 대상 단층에서 발생 가능 한 지진파들을 표현할 수 있는 유사기저함수를 정의·생성하고 이를 사용해 단층에서 발생 가능한 지진파 형태 사이의 관계를 표현하였다. 그리고 경주 및 포항 단층에서 발생했던 지진파들을 이용하여 제안된 방법의 검증 및 적 용성을 평가하였다.

2. 단층에서 발생 가능한 지진파 형태 사이의 관계

2.1 유사기저 함수를 사용한 지진파 신호의 표현

단층에서 발생하는 지진파들은 단층이라는 신호 발생원(source)에서 발생하는 신호들로 볼 수 있다. 이때 발생 신호들은 모든 가능한 형태를 가 질 수 있는 것이 아니라 발생원(단층)의 특성에 따라 특정 유형(형태)의 신 호 그룹을 형성하게 된다.

모든 유형의 신호, 즉 어떠한 형태의 신호(S)라도 기저함수(basis function) 들의 선형결합으로 식 (1)과 같이 표현이 가능하다[8]. 기저함수의 종류는 각 기저함수가 정의되는 영역(domain)에 따라 구별·정의될 수 있다.

여기서 D는 기저함수가 정의되는 전체 영역(Domain) 이다. B_i는 이러한 전체 영역중 일부영역(i)에서 정의되는 기저함수이며, 이러한 기저함수들 이 전체 영역 D를 구성하는 모든 영역에 걸쳐 영역이 겹치지 않게 각각 정의 된다. a_i는 변환 계수로 신호 S(t)와 B_i 의 형태에 따라 정해진다. 또는 a_i에 의해 S(t)의 형태가 결정된다. 퓨리에 변환의 경우 D는 전체 측정 주파수 영역이며, 하모닉 웨이브릿 변환의 경우 측정 대상이 되는 전체 시간-주파 수 영역이 된다. Fig. 1은 퓨리에 변환과 하모닉 웨이브릿 변환에서 사용되 는 일반적인 기저함수 형태를 시간영역에서 나타낸 그림이다.

그림에서 보는 바와 같이 퓨리에 변환에서 사용되는 기저함수들은 전체 주파수 영역 중 특정 단일 주파수와 전체 시간영역에서 균일한 크기를 가지 게 정의되며[9], 하모닉 웨이브릿 변환에 사용되는 기저함수는 전체 주파수 대역 중 임의로 설정이 가능한 좁은 주파수 대역과 협소한 시간영역에서 정 의된다[10]. 이러한 기저함수의 형태는 매우 유연성이 높다. 기저함수의 유 연성은 기저함수 표현의 자유도를 나타내며, 기저함수의 유연성이 높으면 모든 형태(유형)의 신호들을 표현할 수 있다. 즉 이러한 기저함수들의 표현 의 자유도는 매우 높게 된다.

따라서 유연성이 큰 기저함수는 특정 신호 발생원(단층)에서 발생시키 는 특정 유형의 신호그룹(지진파 그룹)뿐만 아니라 일반적인 모든 신호를 생성할 수 있기 때문에 특정 신호 발생원의 특성을 반영하지 못한다고 할 수 있다.

기저함수의 선형결합을 통해 보다 경직된 형태의 기저함수(유사기저함 수, pseudo basis function : PBF)를 다음과 같이 정의·생성할 수 있다.

여기서 d는 전체영역 D보다 작고 개별 기저함수가 정의되는 영역 i 보다 큰 영역을 나타내는 부분영역(sub-domain)이다. 모든 부분영역 d의 합은 전 체영역 D가 되며, d는 D안에서 서로 영역이 겹치지 않게 정의된다. PB_d(t) 는 영역 d에서 정의되는 유사기저함수로서, 영역 d에 포함되어 있는 유연성 이 큰 기저함수들의 적절한 선형결합으로 표현된다. 이러한 선형결합에 사 용되는 계수 b_j는 하모닉웨이브릿 변환의 경우 복소수 형태를 가지며, 기저 함수의 크기와 위상을 변화시킨다. 일단 유사기저함수가 정의되면, 유사기 저함수를 사용하여 식 (3)과 같이 신호를 표현·생성할 수 있다.

여기서 S_PB는 유사기저함수 PB_d(t)를 사용하여 표현할 수 있는 신호 형태 유형들이며, Fig. 1에 주어진 일반적인 유연성이 큰 기저함수를 사용하여 표현 가능한 모든 형태 유형 S 의 부분 집합이 된다. 즉 S_PB (t)는 특정 유형 의 형태만을 포함하게 된다. 이때 유사기저함수를 정의하는데 사용되는 영 역 d가 커질수록, 유사기저함수 정의를 위해 사용되는 기저함수가 많아진 다. 일반적인 기저함수는 다른 영역 기저함수와 독립적으로 자유롭게 거동 할 수 있으나, 유사기저함수를 정의하기 위해 사용된 영역 d에 포함된 기저 함수들은 동시에 같이 거동하여야 한다. 즉 영역 d에 포함된 기저함수들 사 이의 상대적 관계, 즉 기저함수 사이의 위상차(상대적 위치)와 크기 비가 고 정되게 된다.

Fig. 2는 유사기저함수 예를 나타낸 그림이다. Fig. 2(a)는 하모닉웨이 브릿변환에서 사용되는 기저함수들을 사용하여 생성한 유사기저함수로서, 기저함수와 동일한 주파수 대역에서 정의되지만 보다 넓은 시간영역에서 정의되며, 기저함수 보다 복잡한 형태를 가지는 진폭변조신호(Amplitude modulated) 형태를 가진다. 하모닉웨이브릿에 기반한 유사기저함수는 이 어지는 장에서 설명이 이루어진다. Fig. 2(b)는 계측된 지진파로서 전체 주 파수 영역과 시간대역에서 정의되어 있다. 즉 경직도가 가장 높은 유사기저 함수로 볼 수 있다. Figs. 1과 2를 보면 유사기저함수가 정의되는 영역이 커 질수록 기저함수 형태의 복잡성이 커짐을 볼 수 있다.

유사기저함수는 유사기저함수를 정의하는데 사용된 기저함수들보다 표현의 자유도가 떨어지게 된다. 따라서 유사기저함수는 기저함수가 표현 할 수 있는 다양한 신호 유형들중 일부만을 표현할 수 있는 경직된 기저함수 가 된다. 유사기저함수의 경직성은 유사기저함수 생성을 위해 사용된 기저 함수들이 차지하는 영역(d)가 커질수록 커지게 되며, 경직성이 커질수록 유 사기저함수는 복잡한 형태를 가지게 된다. 이때 경직성이 커질수록 유사기 저함수들을 사용하여 표현할 수 있는 신호의 유형이 적어진다. 즉 적절한 경 직성을 가지는 유사기저함수는 특정 유형의 신호만을 생성하게 되며, 이러 한 특정 유형 신호들이 어떤 신호원에서 발생한는 유형의 신호들이라면 사 용된 유사기저함수는 대상 신호원의 특성을 반영하고 있다고 할 수 있고, 이 러한 유사기저함수의 선형결합을 통해 대상 신호원(단층)에서 발생 가능한 신호(지진파)들을 생성할 수 있다. 만약 경직도가 너무 커지면 표현 가능한 신호들의 유형이 크게 감소하게 되어 특정 발생원에서 발생 가능한 신호들 을 충분히 표현·생성할 수 없게 된다. 즉 발생 가능 신호들중 일부만을 표현 생성할 수 있다.

본 연구에서는 대상 단층의 특성을 반영한 적절한 유사기저함수 생성을 위해 대상 단층에서 발생한 지진파 시간이력에 대한 하모닉웨이브릿 변환 을 사용하였다. 다음 장에서는 대상 단층을 위한 하모닉 웨이브릿 변환에 기 반한 유사기저함수 생성과 이를 이용한 단층 발생 가능 지진파 형태 사이의 관계 표현 및 검증 방법에 대해 기술한다.

2.2 하모닉 웨이브릿 변환 (HWT)을 이용한 유사기저함수 생성 및 이를 이용한 발생 가능 지진파 형태사이 관계 표현

HWT[10, 11]를 통해 계측 지진파를 구성하는 개별 주파수 대역 성분들 의 시간이력을 분리·결정할 수 있다[12]. 이러한 분리된 지진파 시간이력은 진폭변조(AM : Amplitude Modulated)신호 형태를 가지며, 각 AM 신호 는 전체 시간영역과 하모닉 웨이브릿이 정의되는 각 특정 주파수 대역을 점 유하게 된다. 이때 HWT에 의해 결정되는 AM 신호들이 점유하는 주파수 대역은 서로 겹치지 않게 정의된다. 본 연구에서는 대상 단층에서 발생한 계 측 지진파에 대해 HWT을 수행하여 결정된 이러한 AM 신호들을 유사기 저함수로 사용하게 된다.

Fig. 3은 계측된 지진파에 대해 HWT를 적용하여 결정된 AM 신호들, 즉 유사기저함수 그룹의 예시이다. 계측 지진판에 대한 HWT를 통해 결정 된 각 유사기저함수, P B d E Q − H W ( t )는 다음과 같은 일반적인 형태로 나타낼 수 있다.

여기서 M_d (t)는 영역 d에서 정의되는 AM 신호의 윤곽선(envelop) 함수 로 시간에 따른 크기(or 에너지)를 나타내고 θ_d (t) 위상 함수로 시간에 따른 위상(또는 형태)를 나타낸다[11]. j는 허수 기호이다. d θ d ( t ) d t 는 순간 주파 수로 Fig. 2(a)와(AM 신호) 같은 연속적인 단일주파수 성분 의 경우 전체 시간에서 동일한 값(동일한 위상 기울기)를 가진다[11]. 이때 M_d (t) 또한 하나의 신호로 취급할 수 있으며, 따라서 다음과 같이 다양한 주파수를 가지 는 AM 신호들의 합으로 표현이 가능하다.

이때 θ_d,k (t), M_d,k (t)는 M_d (t)를 구성하고 있는 k번째 주파수 대역 성 분을 나타내는 AM 신호의 위상 및 크기 함수이다.

이러한 경우 PBF는

식 (6)과 같은 upper form으로 표현이 가능하며 이러한 경우 M_d (t)를 구성하는 m개의 M d , k ( t ) , e j θ d , k ( t ) 사이의 자유로운 상대적 거동이 허용되어, upper form은 lower form에 비해 높은 자유도를 가지게 된다. 일반적으로 M_d (t)를 구성하는 주파수 성분들 중 소수의 특정 주파수들에 에너지가 집 중되어 있기 때문에 식 (5)와 같이 다수의 AM 신호 합으로 표현되는 M_d (t) 에 대해 식 (6)과 같이 m개의 모든 성분들에 자유도를 부여하지 않고 소수 의 에너지가 집중된 주파수 성분들에만 자유도를 부여하는 유사기저함수 를 만들 수 있다. 이러한 유사기저함수(mid-form)는 upper 와 lower form 사이의 자유도를 가지게 된다.

대상 단층에서 발생한 임의의 계측지진파 EQ1에 대해 HWT를 통해 유 사기저함수 그룹 P B E Q − H W ( t )가 결정되면, 대상 단층에서 발생 가능한 지 진파 신호 EQ_n(t)을 앞에서 설명한 바와 같이 유사기저함수를 사용하여 식 (7)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 [a]는 식 (3)과 같은 유사기저함수를 위한 변환계수 벡터이며, [ P B E Q − H W ]는 유사기저함수 벡터이다. ∙는 벡터 내적을 나타낸다.

이때 유사기저함수는 다음 식과 같이 EQ₁(t)으로부터 생성되었기 때 문에

[ P B E Q − H W ]은 EQ₁(t)의 구성성분 벡터가 된다. 따라서 식 (7)은 다음 식과 같이 나타낼 수 있으며,

따라서 [a]는 대상 단층에서 발생 가능한 지진파 형태 사이의 관계를 나 타내는 변환계수가 된다. 만일 사용된 유사기저함수에 대해 대상 단층에서 발생한 지진파들을 표현할 수 있는 변환 계수 a가 존재한다면, 사용된 유사 기저함수는 대상 단층에서 발생 가능한 신호들을 위한 적절한 유사기저함 수로 간주할 수 있다. HWT를 통해 P B E Q − H W ( t )를 생성하는 경우 a는 복 소수 형태로 각 유사기저함수의 크기와 위상을 변화시킨다.

3장에서는 규모 5.4, 5.7 지진이 발생했던 포항, 경주 단층에서 발생했던 지진파 기록들을 사용하여 2장에서 제시한 방법의 적용성을 검토하였다.

3. 포항 지진파와 경주 지진파를 사용한 유사기저 함수 방법의 검증

3.1 포항 지진파를 사용한 제안된 방법의 검증

제안된 방법의 타당성을 검증하기 위해 17년 11월 15일 M5.3 포항지진 유발단층에서 발생한 지진파 기록들을 사용하였다. 지진파 계측은 학계리 계측소의 기반암 위치에서 이루어졌다. Fig. 4는 시간에 따라 발생한 규모 2.0 이상 지진들의 규모를 표시한 그림이다. 그림을 보면 17년 11월 15일에 서부터 규모 5.3 본진과 일군의 여진들이 발생하였으며, 중간의 약 한 달의 휴지기 후, 본진 발생 약 3달이 지난 시점에 규모 4.63의 여진이 발생하였다. 본 연구에서는 17년 11월 15일 발생했던 규모 4.6 지진에 HWT를 수행하여 결정된 주파수 대역별 AM신호들을 유사기저함수로 사용하였다. Fig. 5는 결정된 PBF의 일부 예시이다. 결정된 유사기저 함수를 사용하여 같은 날 발 생했던 규모 5.3 지진과 약 3달 후 발생한 규모 4.63 지진을 표현하였다.

퓨리에 변환을 통해 주어진 신호에 대해 주기적인 기저함수를 위한 변환 계수를 결정하는 것과 같이, 규모 5.5 포항 지진에 대해 Fig. 5에 일부 예시 된 유사기저함수를 사용하여 규모 5.5 지진에 해당하는 변환계수를 결정하 였다. 결정된 변환계수의 타당성을 알아보고자 결정된 변환계수와 사용된 유사기저함수 그리고 식 (7)로 표현되는 역변환을 통해 규모 5.5 지진파를 생성하고 계측된 규모 5.5 지진파와 비교하였다. 만일 계측 지진파와 이 지 진파에 해당하는 변환계수를 사용한 역변환을 통해 생성된 지진파가 잘 일 치한다면, 결정된 변환계수와 유사기저함수의 신뢰도가 확보된다고 볼 수 있다. Fig. 6(a)는 유사기저함수를 사용하여 나타낸 M5.5 포항지진과 실제 발생한 지진을 비교한 그림이다. Fig. 6(b)는 전체 지진계측 시간 대역 중 에 너지가 집중된(높은 지진 가속도 값을 보이는) 시간대역을 확대하여 비교 한 그림이다.

Fig. 6(c)는 계측 지진파와 유사기저함수를 통해 생성된 지진파에 대한 하모닉 웨이브릿 변환을 통해 결정된 파워 스펙트럼 밀도 함수를 비교한 그림이다. 그림을 보면 완벽하게 일치하지 않으나 계측 지진파와 생성 지 진파가 시간 영역 및 주파수 영역에서 모두 잘 일치함을 볼 수 있다. 이로부 터 사용된 유사기저함수는 자기보다 큰 규모의 지진파를 잘 모사함을 알 수 있다.

Fig. 7은 Fig. 5에 주어진 유사기저함수를 사용하여 유사기저함수 생성 에 사용된 지진파와 약 3개월의 차이를 두고 발생한 규모 4.63 여진을 위한 변환계수를 결정하고, 결정된 변환계수를 사용한 역변환을 수행하여 생성 된 지진파 시간이력과 파워 스펙트럼 밀도 함수를 실제 계측된 규모 4.63 지 진파 시간 이력 및 파워 스펙트럼 밀도 함수와 비교한 그림이다. 이 그림에 서도 Fig. 6과 마찬가지로 모든 시간 위치 및 주파수에서 완벽히 일치하지 는 않으나 상대적으로 잘 일치함을 볼 수 있다. 이로부터 유사기저함수 방법 이 사용된 유사기저함수 생성에 사용된 지진파보다 보다 큰 규모의 지진파 특성과 발생 시기적으로 차이가 나는 지진파의 특성을 잘 표현할 수 있음을 알 수 있다. 이는 유사기저함수가 대상 단층에서 발생 가능한 지진파 형태의 특성을 잘 표현함을 나타내며, 유사기저함수에 대한 변환계수가 발생 가능 지진파 신호 형태사이의 관계를 잘 나타낼 수 있음을 의미한다. 또한 유사기 저함수를 사용하여 대상 단층에서 발생 가능한 지진파 생성이 가능함을 의 미한다.

3.2 경주 지진파를 사용한 제안된 방법의 검증

제안된 방법이 여러 단층에서 적용 가능한지 검증하기 위해 16년 9월 12 일 규모 5.8 경주지진 유발단층에서 발생한 지진파 기록들을 사용하였다. 지진파 계측은 명계리 계측소의 기반암 위치에서 이루어졌다. 경주 지진은 규모 5.8 본진 및 다양한 규모의 여진으로 구성되어 있다. 본 연구에서는 여 진들 중 규모 4.8 지진에 대해 HWT 수행을 통해 유사기저함수를 결정하고, 결정된 유사기저 함수를 사용하여 규모 5.8 본진과 규모 5.3 여진을 위한 변 환계수를 결정하였다. Fig. 8은 결정된 PBF의 일부 예시이다.

Fig. 9(a)는 Fig. 8에 일부 예시된 유사기저함수를 사용하여 규모 5.8 지 진에 상응하는 변환계수를 찾아·결정하고, 유사기저함수 방법의 타당성을 알아보고자 결정된 변환계수를 사용한 역변환을 통해 결정된 지진파와 실 제 발생한 지진을 비교한 그림이다. Fig. 9(b)는 전체 지진계측 시간 대역 중 에너지가 집중된(높은 지진 가속도 값을 보이는) 시간대역을 확대하여 비 교한 그림이다. Fig. 9(c)는계측 지진파와 유사기저함수를 통해 생성된 지 진파에 대한 하모닉 웨이브릿 변환을 통해 결정된 파워 스펙트럼 밀도 함수 를 비교한 그림이다.

Fig. 10(a)은 유사기저함수를 사용하여 규모 5.3 경주지진에 대해 앞의 과정과 동일한 과정을 수행하여 결정된 지진파를 계측된 규모 5.3 지진과 비교한 그림이다. Fig. 10(b)은 전체 지진계측 시간 대역 중 에너지가 집중 된(높은 지진 가속도 값을 보이는) 시간대역을 확대하여 비교한 그림이며, Fig. 10(c)는 계측 지진파와 유사기저함수를 사용해 생성한 지진파의 파워 스펙트럼 밀도 함수를 비교한 그림이다.

Figs. 9와 10을 보면 두 경우 모두 전체 시간 및 주파수 대역에서 완벽하 게 일치하지 않으나 근사적으로 잘 일치함을 볼 수 있다. 이를 통해 규모 5.8 경주 지진 유발 단층 발생 지진파들의 특성을 유사기저함수 방법이 잘 표현 할 수 있음을 알 수 있으며, 이러한 방법을 통해 대상 단층에서 발새 가능한 지진파 생성이 가능함을 알 수 있다.

대상 단층에서 발생 가능한 지진파 생성을 위해서는 유사기저함수를 위 한 대상 단층에 존재 가능한 변환계수의 결정이 필요하다. 대상 단층에 존재 가능한 변환계수의 결정론적 평가는 매우 어려우며, 대상 단층을 위한 적절 한 변환계수의 산정은 대상 단층에서 발생한 다수의 지진파 그룹에 대한 통 계적인 분석을 통해 결정할 수 있다. 지진파 그룹에 대한 통계적 방법에 의 한 변환계수의 산정 및 이를 이용한 발생 가능 지진파 그룹 생성은 추후 논 문에서 다루어질 예정이다.

4. 결 론