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ISSN : 1226-525X(Print)
ISSN : 2234-1099(Online)
Journal of the Earthquake Engineering Society of Korea Vol.26 No.5 pp.191-202
DOI : https://doi.org/10.5000/EESK.2022.26.5.191

Inference of the Probability Distribution of Phase Difference and the Path Duration of Ground Motion from Markov Envelope

Hang Choi1)*, Byung-Ick Yoon2)
1)CTO, AIMAC Structure Co. Ltd.
2)CEO, AIMAC Structure Co. Ltd.
*Corresponding author: Choi, Hang E-mail: hchoi01@aimac.co.kr
July 19, 2022 August 1, 2022 August 1, 2022

Abstract


Markov envelope as a theoretical solution of the parabolic wave equation with Markov approximation for the von Kármán type random medium is studied and approximated with the convolution of two probability density functions (pdf) of normal and gamma distributions considering the previous studies on the applications of Radiative Transfer Theory (RTT) and the analysis results of earthquake records. Through the approximation with gamma pdf, the constant shape parameter of 2 was determined regardless of the source distance ro. This finding means that the scattering process has the property of an inhomogeneous single-scattering Poisson process, unlike the previous studies, which resulted in a homogeneous multiple-scattering Poisson process. Approximated Markov envelope can be treated as the normalized mean square (MS) envelope for ground acceleration because of the flat source Fourier spectrum. Based on such characteristics, the path duration is estimated from the approximated MS envelope and compared to the empirical formula derived by Boore and Thompson. The results clearly show that the path duration increases proportionately to ro1/2-ro2, and the peak value of the RMS envelope is attenuated by exp (-0.0033ro), excluding the geometrical attenuation. The attenuation slope for ro≤100 km is quite similar to that of effective attenuation for shallow crustal earthquakes, and it may be difficult to distinguish the contribution of intrinsic attenuation from effective attenuation. Slowly varying dispersive delay, also called the medium effect, represented by regular pdf, governs the path duration for the source distance shorter than 100 km. Moreover, the diffraction term, also called the distance effect because of scattering, fully controls the path duration beyond the source distance of 300 km and has a steep gradient compared to the medium effect. Source distance 100-300 km is a transition range of the path duration governing effect from random medium to distance. This means that the scattering may not be the prime cause of peak attenuation and envelope broadening for the source distance of less than 200 km. Furthermore, it is also shown that normal distribution is appropriate for the probability distribution of phase difference, as asserted in the previous studies.


Markov envelope , Parabolic equation , von Kármán type medium , Scattering process , Phase difference , Path duration

Markov Envelope를 이용한 지진동의 위상차 확률분포 와 전파지연시간의 추정

최 항 1)*, 윤 병익 2)
1)(주)아이맥스트럭처 기술연구소장
2)(주)아이맥스트럭처 대표이사

초록

    1. 서 론

    확률론적 지진위험도 평가모델은 크게 두 가지 부분으로 나눌 수 있다. 하나는 재현 기간에 대한 지진 규모의 평가[1]이고 다른 하나는 지진 규모 에 따른 최대지반가속도 (PGA), 최대지반속도 (PGV) 및 유사가속도응답 스펙트럼 (Pseudo Spectral Acceleration, PSA) 등 지진동의 강도지표 (Intensity Measure, IM)이라고 부르는 물리량의 진원으로부터의 거리 (진원 거리)에 대한 감쇠 특성을 나타내는 부분이다[2]. 특히 후자를 지진동 예측식 (Ground Motion Prediction Equations, GMPEs) 또는 지진동 모 델 (Ground Motion Models, GMMs)라고 부르는데 본 논문에서는 거리 감쇠식이라고 부르기로 한다. 거리 감쇠식은 일반적으로 3가지 감쇠 현상 을 나타낸다. 즉, 파동 에너지의 공간확산에 의한 에너지 밀도 저하를 나타 내는 기하 감쇠 (geometrical attenuation)와 파동전달매체의 내부에 불규 칙하게 분포하고 있다고 가정하는 산란체 (scatterer)에 의한 산란 감쇠 (scattering attenuation) 및 산란체의 운동에너지 흡수 효과에 의한 내부 감 쇠 (intrinsic attenuation)이다. 또한, 근거리장에서 나타나는 감쇠 현상의 포화 효과 (magnitude-amplitude saturation effects[3])도 나타낼 수 있 어야 한다. 한편, 이들 3가지 감쇠 효과는 많은 경우 전체 감소에너지로부 터 분리 (energy partitioning) 할 수 있다고 가정하지만, 관측기록으로부 터 각각의 에너지감소분을 이론적으로 분리할 수 있는지는 확실치 않다. 특히 산란 감쇠와 내부 감쇠는 각각의 효과를 관측기록에서 구분하기 쉽지 않으므로 이들 두 가지 감쇠를 하나의 효과로 묶어서 유효 감쇠 (effective attenuation)으로 나타내기도 한다[2], [4-8].

    이론적으로 에너지 분리가 가능하다고 가정할 경우, 산란 감쇠와 내부 감쇠를 분리하는데 사용하는 이론은 크게 입자론과 파동론의 관점을 취하 는 것으로 나눌 수 있다[9, 10]. 입자론적 관점에 의한 방법은 에너지 입자의 복사전달이론 (Radiative Transfer Theory, RTT)에 근거한 적분방정식의 해석이고, 파동론의 관점에 의한 방법은 파동방정식의 포물선형 근사방정 식에 파동전파매질의 탄성파 속도스펙트럼 특성을 고려한 확률미분방정식 을 이용해 파동 에너지의 산란과 분산지연 (dispersive delay) 현상을 해석 하는 방법이다. 이들 방법론의 최종결과물은 진원에서 방출되는 파동 (에너 지)가 관측점에 도달하여 형성하는 포락함수 (envelope)의 형태가 어떻게 변화되는가를 나타내며, 포락함수를 진원의 영향과 분리하여 정규화하면 매질의 영향으로 발생하는 파동 (에너지)의 전파지연시간에 관한 확률밀도 함수로 생각할 수 있다. 그러므로, 분산지연을 포함해 산란 효과에 의한 지연 시간의 확률밀도함수는 포락함수의 지연 현상을 지배하는 위상차의 확률밀 도함수와 밀접한 관련성을 갖는다고 볼 수 있어, 산란 효과의 이론해석 결과 를 통해 지금까지 경험적인 지식으로 알고 있는 위상차의 확률분포 특성과 지진동의 전파지연시간에 대한 이론적인 근거를 마련할 수 있을 것으로 생 각된다.

    이에 본 논문에서는 파동전파매질의 전단파 속도스펙트럼 특성으로 von Kármán형 스펙트럼을 가정한 확률미분방정식의 이론해를 통해 포락 함수의 특성을 파악하고, RTT의 적분방정식 및 Monte Carlo Simulation (MCS)를 이용한 기존의 연구결과와 비교하여 그 차이점을 고찰하였다. 또 한, 이론해를 통해 얻은 포락함수로부터 파동 전파지연시간을 평가하고, 지 진동 기록 데이터베이스의 해석을 통해 얻은 전파지연시간에 관한 경험식 과 비교해 이론적 접근의 타당성과 문제점을 검토하였다. 그리고, 포락함수 의 제곱근을 이용해 PGA의 거리 감쇠 특성을 파악하고, 유효 감쇠와 분산 지연을 포함한 산란 효과의 비교를 통해 내부 감쇠 추정에 대해 검토하였다.

    2. 2승평균 포락함수와 2진동수 상관함수

    2.1 포락함수와 위상차의 관계

    지진동의 계속시간 평가에 이용되는 정규화된 Arias Intensity는 지반 가속도의 2승 적분으로 정의되므로 우선 지반가속도 기록을 s(t), 이에 대 한 해석 신호 (analytic signal) z(t)를 다음과 같이 정의한다[11].

    z ( t ) = s ( t ) + j H { s ( t ) }
    (1)

    여기서, j는 복소수를 나타내고, H{ }는 Hilbert 변환을 나타낸다. 이때 2 승평균 포락함수 (mean square envelope)는 다음 식으로 정의한다.

    〈 z ( t ) z * ( t ) 〉 = 1 2 [ s 2 ( t ) + H 2 { s ( t ) } ]
    (2)

    식 좌변의〈〉는 앙상블 평균, *는 공역 복소수를 나타낸다. 그리고 rms (root mean square) 포락함수는 식 (1)의 절댓값에 해당하고, 시간영역에 서의 위상 θ(t)를 이용하면 식 (1)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

    z ( t ) = a ( t ) e j θ ( t ) = s 2 ( t ) + H 2 { s ( t ) } e j θ ( t )
    (3)

    여기서, 한 가지 중요한 점은 θ(t)의 시간 미분이 시간 t에 집중되는 스펙트 럼의 진동수 성분을 나타내는 순간 진동수 (Instantaneous Frequency) fI(t)라는 점이다. 즉, 원진동수 ω=2πf임을 고려하여

    ω I ( t ) = lim Δ t → 0 Δ θ ( t ) Δ t = d θ ( t ) d t
    (4)

    한편, 식 (3)의 푸리에변환 Z(ω)는 진폭 스펙트럼과 위상 스펙트럼으로 나타낼 수 있다.

    Z ( ω ) = A ( ω ) e j ϕ ( ω )
    (5)

    위상 스펙트럼 ϕ(ω)의 진동수에 대한 미분은 진폭 스펙트럼의 진동수 성 분 A(ω)가 시간영역에서 국소화 (time localization)되는 시간인 군지연 시 간 (group delay)를 나타낸다. 즉,

    τ g ( ω ) = − lim Δ f → 0 Δ ϕ ( ω ) Δ ω = − d ϕ ( ω ) d ω
    (6)

    순간 진동수와 군지연 시간의 관계는 이산화된 신호의 경우 시간-진동 수 평면 (time-frequency plane)에서 서로 역함수의 관계를 갖는다. 이러 한 점은 식 (3)과 식 (5)의 푸리에변환과 역방향 변환을 보면 알 수 있다. 즉, 푸리에변환을 F, 역방향 변환을 F − 1 로 나타내면

    F { a ( t ) e j θ ( t ) } = F { a ( t ) } * F { e j θ ( t ) } = A ( ω ) e j ϕ ( ω )
    (7)

    F − 1 { A ( ω ) e j ϕ ( ω ) } = F − 1 { A ( ω ) } * F − 1 { e j ϕ ( ω ) } = a ( t ) e j θ ( t )
    (8)

    여기서, ∗는 두 함수의 합성적을 나타낸다.

    이들 식으로부터 포락함수는 진폭 스펙트럼과 위상 스펙트럼에 의해서 결정되고, 진폭 스펙트럼 역시 포락함수와 시간영역에서의 위상에 의해 결 정되는 것을 알 수 있다. 한편, 이산화된 신호의 진폭 스펙트럼은 일반적으로 ω±δω의 구간에서 일정하다고 가정하므로, 포락함수는 Choi and Yoon[12] 이 보인 바와 같이 각 진동수 구간의 진폭 스펙트럼이 최댓값이고, 최댓값이 발생하는 중심시간이 군지연 시간인 기준화 sinc 함수 (normalized sinc function)의 중첩으로 구성된다. 이처럼 군지연 시간을 중심으로 진폭 또는 에너지를 시간영역에 국소화시킬 경우 정류위상의 원리 (Stationary Phase Principle)이 성립한다. 그리고, 군지연 시간은 위상차 Δϕ에 의해 결정되 므로 포락함수는 위상차의 확률밀도함수와 밀접한 관련성을 갖게 된다. 지 반가속도의 경우 평탄한 스펙트럼 특성을 갖는 진동수 대역이 뚜렷하므로 포락함수와 위상차의 확률밀도함수와의 관계가 더욱 밀접해진다. 이러한 특징은 시간 원점에서의 위상보존 (constant global reference phase)을 제 외하면 Complex Shannon Wavelet을 이용한 비정상 신호의 해석과정과 다르지 않다[13].

    2.2 2진동수 상관함수 (TFMCF)

    진원에서 발생한 파동이 관측점에 도달하기까지 경유하는 파동전파매 질의 역학적 특성은 선형이지만 매질의 재료 물성은 불규칙한 공간분포 특 성을 갖는다고 가정한다. 이와 같은 불규칙한 특성으로 진원에서 발생한 파동이 관측점까지 전달되는 과정에서 분산지연과 산란을 경험하게 되며, 이런 산란 효과는 2진동수 상관함수 (Two-Frequency Mutual Coherence Function, TFMCF)에 의해 나타낸다. TFMCF의 정의는 연구자에 따라 조금씩 다른데, 여기에서는 Ishimaru[9]의 정의를 따르기로 한다.

    TFMCF를 정의하기 위해 진원에서의 입사 파동의 포락함수 ui(t)와 관 측점에서의 포락함수 uo(t)를 식 (3)처럼 다음의 복소수 함수로 정의한다.

    u i ( t ) = a i ( t ) e j θ i ( t ) , u o ( t ) = a o ( t ) e j θ o ( t )
    (9)

    식 (9)를 랜덤진동이론의 전달함수를 이용하여 진동수영역에서 나타내 면 다음과 같다. 단, 선형 정상 시스템 (linear time-invariant system)의 경 우 전달함수 H(ω)는 진동수에만 의존하지만, 여기서 가정한 선형 비정상 시스템 (linear time-variant system)의 경우 전달함수 H(ω,t)가 시공간- 진동수 모두에 의존하는 것에 주의할 필요가 있다.

    u i ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ U i ( ω ) e j ω t d ω
    (10)

    u o ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ U o ( ω ) e j ω t d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ U i ( ω ) H ( ω , t ) e j ω t d ω
    (11)

    식 (11)을 이용하면 관측점에서의 출력 파동의 포락함수에 대한 상관함 수는 다음과 같다.

    〈 u o ( t 1 ) u o * ( t 2 ) 〉 = 1 ( 2 π ) 2 × ∫ − ∞ ∞ d ω 1 ∫ − ∞ ∞ d ω 2 U i ( ω 1 ) U i * ( ω 2 ) Γ H exp ( j ω 1 t 1 − j ω 2 t 2 )
    (12)

    여기서, ΓH는 다음 식으로 정의되는 전달함수의 TFMCF를 나타낸다. 그 리고 t1, t2는 함수의 시공간 특성을 나타내기 위한 변수로 본다.

    Γ H = 〈 H ( ω 1 , t 1 ) H * ( ω 2 , t 2 ) 〉
    (13)

    식 (12)에서 입력 파동의 진폭 스펙트럼은 입사 조건이므로, 재료 물성 이 불규칙한 공간분포특성을 갖는 파동전파매질에서의 파동전파와 산란문 제의 핵심은 TFMCF인 ΓH를 결정하는 것이고, 이는 파동전파경로에 대한 임펄스 응답 함수 (impulse response function, IRF)를 구하는 것과 같다.

    한편, 출력 파동의 강도는 〈|uo(t)|2〉 에 비례하고, 진원에서의 입력으 로 단위 진폭 스펙트럼을 가정할 때 출력 파동의 강도 I (t)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

    I ( t ) = 〈 u o ( t ) u o * ( t ) 〉 = 1 ( 2 π ) 2 ∫ − ∞ ∞ d ω 1 ∫ − ∞ ∞ d ω 2 Γ H ( ω 1 , ω 2 ) exp [ j ( ω 1 − ω 2 ) t ]
    (14)

    여기에 중심진동수 ωc =(ω1 +ω2)/2 와 차분진동수 ωd =ω1 -ω2를 도 입하면 ω1과 ω2는 각각 ω1 =ωc+ωd/2, ω2 =ωc-ωd/2이므로 식 (14)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

    I ( t ) = 1 ( 2 π ) 2 ∫ − ∞ ∞ d ω c ∫ − ∞ ∞ d ω d Γ H ( ω c , ω d ) exp ( j ω d t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ d ω c I S ( t ; ω c )
    (15)

    여기서 IS(t;ωc)를 중심진동수 ωc에 대한 강도의 스펙트랄 밀도 (Intensity Spectral Density, ISD)라고 하고, TFMCF의 역방향 푸리에변환에 해당 한다[10].

    2.3 TFMCF와 ISD의 분해

    파동전파매질의 재료특성 공간분포가 불규칙하므로, 공간의 임의 위치 에서의 파동의 속도 역시 불규칙하여, 진원으로부터 거리 r 떨어진 위치에 파동이 도달하는 시간은 평균전파속도 Vo에 의한 평균 도달시간 r/Vo만으 로 나타낼 수 없다. 이를 반영하여 TFMCF를 평균전파속도에 의한 평균지 연 부분과 변동전파속도에 의한 변동지연 부분으로 나누면 다음과 같이 쓸 수 있다.

    Γ H ( ω c , ω d ) = 〈 H ( ω c + ω d / 2 , t ) H * ( ω c − ω d / 2 , t ) 〉 = 〈 A H ( t , r , ω c , ω d ) exp ( − j w d t p ) 〉 〈 exp ( − j w d δ t ) 〉 = Γ D ( r , ω c , ω d ) Γ R ( r , ω d )
    (16)

    위 식에서, AH는 첫 번째 행의 우변에서 정의한 TFMCF의 절댓값을 나 타내고, 2번째 행은 위상 스펙트럼을 진동수에 대한 평균성분과 변동성분 으로 나누었을 때 이 둘은 확률론적으로 독립임을 나타낸다. 이를 위상의 차 분 표현을 이용해 나타내면, 즉 진동수 ωd,k =kΔω에 대한 위상 ϕk는 ϕk =ϕk-1 +Δϕk로 나타낼 수 있고, 초깃값은 가속도의 경우 일반적으로 ϕ0 =0이므로 위상지연 ϕ k = ∑ Δ ϕ k 는 다음과 같이 평균지연과 변동지연 으로 나눌 수 있다. 속도와 변위의 경우 가속도의 위상에 각각 π/2 및 π의 초기위상을 추가하면 된다.

    t p , k = ϕ k ω d , k = ∑ i = 1 k Δ ϕ k k Δ ω = E [ Δ ϕ k ] Δ ω δ t , k = Δ ϕ k − E [ Δ ϕ k ] Δ ω = Δ ϕ ′ k Δ ω Δ ϕ k = E [ Δ ϕ k ] + Δ ϕ ′ k , E [ Δ ϕ ′ k ] = 0
    (17)

    위와 같이 위상의 변화를 평균부분과 변동부분으로 나눌 수 있는 조건은 평균 위상차 E[Δϕ]가 진동수 대역별로 거의 일정하고, 위상의 변화를 적 어도 정상확률과정 (quasi-stationary process)로 가정할 수 있어야 한다.

    마지막 행의 ΓD는 위상의 평균지연을 고려한 TFMCF의 시공간에 대한 앙상블 평균이고, ΓR은 확률분포의 특성함수 (characteristic function) 정 의로부터 다음과 같이 쓸 수 있다.

    Γ R ( r , ω c , ω d ) = 〈 exp ( − j ω d δ t ) 〉 = ∫ − ∞ ∞ exp ( − j ω d δ t ) d P ( δ t ; r , ω c ) = F { p ( δ t ; r , ω c ) }
    (18)

    여기서 P는 진원으로부터 거리 r의 위치에서 관측된 중심진동수가 ωc인 wavelet의 변동지연시간 δt의 누적분포함수, p는 확률밀도함수를 나타낸다. 그러므로 ΓR은 변동지연시간의 확률밀도함수에 대한 푸리에변환에 해당 하는데, Choi and Yoon[12]에 의하면 p(δt;r,ωc)는 원형정규분포 (circular normal distribution) 또는 von Misés 분포가 타당하며, 푸리에해석의 경우 Euler 공식에 의해 mod 2π 조작이 이루어지므로 정규분포를 가정할 수 있다.

    한편 ΓD에 관해서 살펴보면, ΓD 역시 ΓR과 같은 추론이 가능하다. 즉, AH는 TFMCF의 특성 때문에 진동수 전대역에 걸쳐서 완전 상관을 나타내 는 1, 즉 all-pass 필터일 수 없고, 높은 상관을 갖는 진동수 대역이 중심진동 수 부근으로 제한된다. 또한, 내부 감쇠의 영향을 배제하고 산란 현상만을 고려하는 경우에는 전달함수에 공진부가 없는 대역통과필터 (band-pass filter)의 특성을 갖게 된다. 그런데 중심진동수 ωc에 관한 대역통과필터 특 성은 푸리에변환의 진동수 이동 (frequency shift)에 의해 저역통과필터 (low-pass filter)로 그 효과를 나타낼 수 있고, 저역통과필터의 특성은 차단 진동수 (cut-off frequency)를 결정하는 시정수 (time constant)와 차단진 동수 이후 필터의 감쇠 기울기 및 위상지연 (phase delay, tp =ϕ(ωd)/ωd ) 특성에 의해 결정된다[14].

    기존의 RTT와 확률과정이론을 이용한 연구에서 흔히 가정하듯 산란체 의 공간분포를 uniform 분포로 가정하고 공간의 한 점에서 이동속도가 일 정한 단위 에너지 입자를 방사할 경우, 산란체와의 충돌 (Poisson 확률과 정)에 의한 입자의 산란을 등방성으로 가정하면 에너지 입자가 관측점에 도 착하는 시간, 즉 지연시간의 확률분포는 감마분포가 된다[15]. 이는 충돌확 률을 나타내는 지수분포의 특성에 의한 이론적 결과이므로 MCS를 이용한 Hoshiba의 연구[16, 17]와 해석학적인 방법을 이용한 Zeng et al.의 연구 [18] 역시 같은 분포로 귀결되어야 하고, 실제로 이들 연구에서 얻은 충돌횟 수별 에너지 밀도함수는 감마분포와 같다. 만약 Yoshimoto[19]의 DSMC (Direct Simulation Monte Carlo) 법과 같이 입자의 이동속도가 공간에서 일정하지 않다면 산란의 발생은 비정상 Poisson 과정의 속성을 갖게 되지 만, 평균 발생률의 시간적 또는 공간적 변화를 적절한 함수의 형태로 표현하 면 정상확률과정으로 치환할 수 있으므로[15, 20], 결과적으로 지연시간의 확률분포는 감마분포가 된다. 그러므로, 만약 입자론과 파동론에 의한 산란 효과의 서술이 등가라면 ΓD는 감마분포의 특성함수와 유사할 것이다. 사실 입자론과 파동론의 등가성에 대해서는 오래전에 검증되었고[9], 등방성 산 란과 비등방성 산란의 차이를 나타내는 산란패턴 (scattering pattern)의 영 향을 고려할 필요가 있지만, 최근 Zeng[21]의 연구에 의하면 강한 전방산 란 (strong forward scattering)이 발생할 때도 등방성 산란의 가정이 유효 한 것으로 나타나, 감마분포의 추측은 타당하다고 생각된다.

    이상의 고찰을 바탕으로 식 (16)를 이용하여 식 (15)의 강도 함수를 다시 쓰면 다음과 같다.

    I ( r , t ) = 1 ( 2 π ) 2 ∫ − ∞ ∞ d ω c ∫ − ∞ ∞ d ω d Γ H ( ω c , ω d ) exp ( j ω d t ) = 1 ( 2 π ) 2 ∫ − ∞ ∞ d ω c ∫ − ∞ ∞ d ω d Γ D ( r , ω c , ω d ) Γ R ( r , ω d ) exp ( j ω d t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ d ω c [ p ( t p ; r , ω c ) * p ( δ t ; r , ω c ) ]
    (19)

    그러므로 ISD는 기존 연구결과를 바탕으로 추측할 때 정규분포와 감마 분포 2개의 확률밀도함수의 합성적이고, 이들은 각각 매질 특성에서 오는 분산지연과 산란 효과에 의한 지연시간의 확률밀도함수를 나타낸다.

    3. ISD의 이론해와 그 특성

    3.1 ISD의 이론해

    3차원 공간 임의의 위치 x에서의 파동전파속도를 V(x)라 하고 , 이것을 평균 Vo와, 평균과 변동성분의 비 ξ(x)를 이용해서 V(x)=Vo(1+ξ(x))로 나타낼 수 있다고 가정한다. 단, |ξ(x)|≪1이고, 진원을 원점이라 하고 z =Z>0에 위치한 관측점까지의 거리는 상관 거리 a에 비해 충분히 멀다 고 가정한다. 이것을 파동방정식에 대입하면 스칼라 파 u(x,t)의 지배방정 식은 다음과 같다.

    Δ u − 1 V o 2 ∂ t 2 u + 2 V o 2 ξ ∂ t 2 u = 0
    (20)

    파동 입사 방향인 z축에 직각 방향의 평면을 나타내는 좌표 x⊥=(x,y) 를 설정해 파동을 다음과 같은 평면파의 중첩으로 나타내기로 한다.

    u ( x ⊥ , z , t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ d ω U ( x ⊥ , z , ω ) exp [ j ( ω t − k o z ) ]
    (21)

    여기서, 파수 ko =ω/Vo이다.

    식 (21)을 이용하여 식 (20)을 진동수영역의 식으로 바꾸면,

    ∂ z 2 U + j 2 k o ∂ z U + Δ ⊥ U − 2 k o 2 ξ U = 0
    (22)

    여기서, Δ ⊥ = ∂ x 2 + ∂ y 2 이다. 만약 ko에 대해 koa≫1이 성립하면 파동의 z 방향 변화가 완만하여 z 방향에 관한 2차 미분을 무시한 포물선형 근사방정 식 (parabolic wave equation)을 얻게 된다.

    2 j k o ∂ z U + Δ ⊥ U − 2 k o 2 ξ U = 0
    (23)

    TFMCF에 대한 지배방정식은 식 (23)에 U*를 곱해 U의 TFMCF

    Γ 2 = 〈 U ( x ′ ⊥ , z , ω ′ ) U * ( x ″ ⊥ , z , ω ″ ) 〉
    (24)

    에 관한 방정식으로 정리하면 얻어진다. 즉,

    2 j ∂ z Γ 2 + ( Δ ′ ⊥ k ′ o − Δ ″ ⊥ k ″ o ) Γ 2 + j [ ( k o ′ 2 + k o ′ ​ ′ 2 ) A ( 0 ) − 2 k ′ o k ″ o A ( r ⊥ d ) ] Γ 2 = 0
    (25)

    여기서, r ⊥ d = | x ⊥ ′ − x ⊥ ′ ​ ′ | 이고, A는 상관함수의 z에 대한 적분으로 정의 되므로 매질의 상관함수 특성으로 결정된다.

    다음으로, 매질의 통계적 특성을 등방성으로 가정하여, z 방향으로 입사 되는 평면파의 경우 Γ2가 직교 평면 x⊥상의 좌표 차이 r⊥d에만 의존하여 Δ ′ ⊥ = Δ ″ ⊥ = Δ ⊥ d 관계가 성립한다고 가정한다. 그리고, 중심 파수와 차 분 파수를 각각 k c = ( k o ′ + k o ′ ​ ′ ) / 2 , k d = k o ′ − k o ′ ​ ′ 로 정의하여 식 (25)에 대 입해 정리하면, TFMCF의 마스터 방정식을 얻게 된다. 즉,

    ∂ z Γ 2 + j k d 2 k c 2 Δ ⊥ d Γ 2 + k c 2 [ A ( 0 ) − A ( r ⊥ d ) ] Γ 2 + k d 2 4 [ A ( 0 ) + A ( r ⊥ d ) ] Γ 2 = 0
    (26)

    한편 Z≫a의 경우, 근사적으로 A(0)≈A(r⊥d)가 성립하는데 이를 Markov 근사라고 하고, 이를 적용하면 마스터 방정식은 다음과 같다.

    ∂ z Γ 2 + j k d 2 k c 2 Δ ⊥ d Γ 2 + k c 2 [ A ( 0 ) − A ( r ⊥ d ) ] Γ 2 + k d 2 2 A ( 0 ) Γ 2 = 0
    (27)

    식 (27)의 좌변 3~4항은 파동의 분산에 대한 매질의 영향을 나타내고, 2항은 서로 다른 진동수를 갖는 산란파의 회절효과를 나타내는데[22], Uscinski[23] 는 전자를 매질효과 (medium effect), 후자를 거리효과 (distance effect) 로 구분하였다. 매질효과는 파두 (wave front)에서 발생하는 위상지연을 나타내고, 거리효과는 파두의 곡률 변화에 의한 파동의 다중경로와 진폭변 동을 나타내는데, 진폭변동은 TFMCF와 같은 2차 모멘트만으로 표현할 수 없으므로 거리효과를 무시하고 매질효과만으로 나타내기도 한다[22]. 또 한, 실제 관측조건과 같이 중심진동수보다 차분진동수가 작은 경우 즉, kc ≫kd라면 식 (27)의 좌변 제2항은 무시할 수 있으므로, 산란에 의한 회절 효과는 주로 낮은 중심진동수 (장주기) 성분에 의해서만 나타나게 된다. 단, 포물선형 근사에서 ko에 대해 koa≫1의 관계를 가정했으므로, ωc ≫Vo/a 를 만족할 필요가 있다.

    식 (27)의 해석에서는 r⊥d =0 의 경우와 r⊥d >0의 경우로 나누어 Γ2 를 분해 (factorization) 하는데, 그 이유는 작지만 r⊥d >0인 경우 마스터 방정식에 직교 평면에서의 offset의 영향, 즉 Δ⊥d로 평가되는 거리효과가 매질효과와 더불어 반영되기 때문이다. 그러므로, r⊥d =0 인 경우의 해를 W(ωd), r⊥d >0의 해를 0Γ2로 나타내면, W(ωd)는 식 (27)의 좌변 2항과 3 항을 무시한 상미분방정식의 해이므로 Γ2는 다음과 같이 쓸 수 있다.

    Γ 2 =   0 Γ 2 W ( ω d ) =   0 Γ 2 × exp [ − k d 2 A ( 0 ) z 2 ]
    (28)

    W(ωd)의 t* =t-z/Vo에 대한 역방향 푸리에변환 w(t*)는 다음과 같 고, 이를 wandering effect[24]라고도 한다.

    w ( t * ) = 1 2 π t W e x p [ − 1 2 ( t * t W ) 2 ]
    (29)

    식 (29)는 표준편차 t W = A ( 0 ) z / V o , 평균 z/Vo인 정규분포의 확률 밀도함수와 같으므로 W(ωd)는 식 (16)의 ΓR에 해당한다. 그리고 표준편차 가 z 에 비례하여 증가하므로 진원 거리가 멀수록 변동전파속도의 영향 이 증가한다. 그리고, r⊥d >0의 경우의 해 0Γ2에 대한 마스터 방정식은

    ∂ z 0 Γ 2 + j k d 2 k c 2 Δ ⊥   d 0 Γ 2 + k c 2 [ A ( 0 ) − A ( r ⊥ d ) ] 0 Γ 2 = 0
    (30)

    이고, 해는 다음과 같다.

    0 Γ 2 ( Z , ω c , ω d ) = 1 cos   ​ s 0 ( ω d ) , s 0 ( ω d ) = 2 e j π / 4 t M ω d
    (31)

    여기서, tM은 TFMCF의 진동수 대역특성을 결정하는 변수로, 저역통과필 터의 차단진동수를 결정하는 시정수와 같은 역할을 한다. 그리고, 해를 구 하기 위한 초기조건으로 0Γ2(z =0, r⊥d =0,ωc,ωd)=1을 가정하는데, 이것 은 파동 (에너지)의 입사 점에서의 TFMCF는 입사되는 파동의 특성에 아 무런 영향을 주지 않도록 all-pass 필터의 특성을 갖는다는 것을 나타낸다. 그리고 해를 z =Z, r⊥d =0에 대해 구하는 것은 관측점에서의 〈|uo(t)|2〉 를 얻기 위해서이다. 마스터 방정식의 풀이에 대한 상세한 사항은 문헌 [10] 의 9장을 참조하기 바란다.

    0Γ2의 역방향 푸리에변환을 IS,0(Z,t;ωc)라면

    I S , 0 ( Z , t ; ω c ) = π 4 t M ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) exp { − [ π 2 ( n + 1 2 ) ] 2 t * t M }
    (32)

    단, t* ≥0이고, IS,0(Z,t;ωc)는 시간에 대한 적분이 1이므로 IS,0(Z,t;ωc)가 확률밀도함수의 특성을 갖는다고 할 수 있다.

    한편, 진원에서의 파동 (에너지) 방사를 다룰 때는 직교좌표계보다는 구 좌표계를 이용한 표현이 편리하다. 이에 위의 방정식을 구 좌표 (r,θ,ψ)를 이 용해 구면파 (spherical wave)에 대한 것으로 변환하면 원점으로부터 r =r0 에 위치한 관측점에서의 0Γ2(r0,ωc,ωd)와 IS,0(r0,t;ωc)는 각각 다음과 같다.

    0 Γ 2 ( r 0 , ω c , ω d ) = 1 4 π V o s 0 ( ω d ) sin   s 0 ( ω d )
    (33)

    I S , 0 ( r 0 , t ; ω c ) = 1 4 π r 0 2 V o π 2 2 t M ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n 2 exp [ − ( n π 2 ) 2 t * t M ]
    (34)

    식 (34)는 진원으로부터 거리 r0 떨어진 관측점에서 단위 입체각에 대한 표면적을 통해 방사되는 ISD를 나타내는데, 전체 표면적에 대한 에너지 flow의 시간 적분은 1이 되어 진원에서 입사되는 에너지의 총량은 보존된 다. 즉,

    4 π r 0 2 V o ∫ 0 ∞ I S , 0 ( r 0 , t ; ω c ) d t = 1
    (35)

    IS,0(r0,t;ωc)는 기존 연구에서 MCS 또는 해석학적인 방법으로 구한 에 너지 밀도 E(r0,t)와 같은 의미이므로 아래에서는 4 π r 0 2 V o I S , 0 ( r 0 , t ; ω c ) 의 특 성을 중심으로 검토한다.

    3.2 von Kármán 형 스펙트럼의 핵심변수 설정

    ISD의 이론해의 특성을 검토하기 위해서는 진원 거리에 따른 w의 표준 편차 tW와 tM을 평가해야 하는데, 이들 2개의 핵심변수는 모두 파동전파속 도의 스펙트럼 특성에 의해 결정된다. 이에 여기에서는 Sato의 Spectral Division Method[24]를 사용하기 위해 파동전파속도의 스펙트럼으로 von Kármán 형 스펙트럼을 이용한다. 불규칙 매질의 통계적 특성을 가정할 때 Gauss 함수형 또는 지수함수형 자기상관함수 (Autocorrelation function, ACF)를 갖는 스펙트럼 모델을 많이 사용하지만 최근 물리탐사 결과에서는 이들 모델보다 von Kármán 형 스펙트럼이 타당한 것으로 나타났고[25], Gauss 함수형이나 지수함수 형도 von Kármán 형 스펙트럼의 파라미터 조 정으로 표현 가능한 장점이 있다.

    평균 0인 전파속도의 변동성분 ξ의 자기상관함수 R(x)와 파워 스펙트 랄 밀도함수 (PSDF) P(m)을 각각 다음과 같이 정의한다.

    R ( x ) = 〈 ξ ( y ) ξ ( y + x ) 〉 , P ( m ) = ∫ ∫ ∫ − ∞ ∞ R ( x ) e − j m x d x
    (36)

    식에서 알 수 있듯이 ACF는 r =|x|의 함수이고, PSDF는 파수 벡터 m 의 함수인데, 통계적 특성이 균질 (homogeneous) 하고 등방성이라면 스칼 라 파수 m=|m|의 함수로 표현된다. 이때 von Kármán 형 PSDF는 다음 과 같다. 단, 식에서 Γ는 감마 함수를 나타낸다.

    P ( m ) = 8 π 3 / 2 Γ ( κ + 3 / 2 ) ∈ 2 a 3 Γ ( k ) ( 1 + a 2 m 2 ) κ + 3 / 2 , κ > 0
    (37)

    여기서, ∈2 =R(0)=〈ξ2〉이고, a- 1은 P(m)이 P(0)에 비해 –6dB 감소하 는 코너 파수 (corner wavenumber)에 해당한다. 그리고, m≫a-1에서는 P(m)∝m-(2κ + 3)의 감쇠 특성을 갖는다. 다음으로 이에 대한 ACF를 κ차 의 제2종 변형 Bessel 함수 Kκ를 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

    R ( r o ) = ∈ 2 2 1 − κ Γ ( κ ) ( r o a ) κ K κ ( r o a )
    (38)

    R(ro)은 ro ≫a일 때 rκ - 1/2exp(-r/a)에 비례하여 감소한다. 그리고, A(r⊥d)는 ACF를 이용하여 다음과 같이 정의한다.

    A ( r ⊥ d ) = ∫ − ∞ ∞ R ( r ⊥ d , z ) d z
    (39)

    이상을 이용한 Sato의 Spectral Division Method[24]에서는 식 (28)의 표준편차 tW 와 식 (34)의 핵심변수 tM이 각각 다음과 같다.

    t W = 1 V 0 { 2 ∈ 2 a π 1 / 2 Γ ( κ + 1 / 2 ) Γ ( κ ) [ 1 − ( ζ a k c ) − 2 κ − 1 ] r 0 } 1 / 2
    (40)

    t M = ∈ 2 2 V 0 a π 1 / 2 Γ ( κ + 1 / 2 ) ( 2 κ − 1 ) Γ ( κ ) [ 1 − ( ζ a k c ) 1 − 2 κ ] r 0 2
    (41)

    여기서, ζ는 매질의 장파장 성분과 단파장 성분을 나누기 위한 파라미터로 산란각과 관련 있다[24, 25]. 그리고 식 (41)의 경우 κ =0.5에 대해서는 정 의되지 않는데, 이를 피하기 위해서는 미소한 κ∈을 이용하여 κ =0.5±κ∈에 대한 결과의 평균을 이용하면 된다.

    ISD 이론해의 특성을 검토하기 위해서는 변수들의 구체적인 값이 필요 한데 다른 변수와 달리 κ는 값을 특정하기 쉽지 않고, 그 영향도 다른 변수 에 비해 크다. Zeng[21]은 미국 서부 Nevada주의 Wells의 array 관측기록 에 3차원 비등방성 산란의 RTT를 적용한 연구에서 Gauss 함수형의 ACF 를 가정하고 산란패턴으로 강한 전방산란을 가정한 이론해가 관측기록의 포락함수를 잘 나타냄을 보이고, 비등방성 산란을 가정한 경우와 비교해 등 방성 가정 역시 유효한 가정임을 보였다. 이 결과는 κ의 선택에 상당한 자유 도가 있음을 의미한다. 그 이유는 강한 전방산란이 발생한 경우는 장파장 특 성의 영향이 상대적으로 큰 것을 의미하기 때문에 큰 값의 κ를 선택해야 하 지만, 등방성 산란의 경우 광각산란을 고려해야 하므로 단파장 성분이 상대 적으로 크게 작용하도록 작은 κ값을 선택하여야 한다. 참고로 ACF를 Gauss 함수형으로 가정하면 κ≫1에 해당하고, 지수함수 형으로 가정하면 0.5인데, Zeng은 지수함수 형의 ACF가 적절치 않다고 보았다.

    한편, 실제 물리탐사를 통해 측정한 κ는 지표면에 가까울수록 0에 가까 워지고 깊이가 깊어질수록 0.5~1.0에 근접한 것으로 나타나는데[10], 지표 면 근처의 경우 파동의 증폭 및 감폭 현상이 복잡하게 발생하고, 대략 지반 가속도가 0.1 g를 초과하면 지반의 비선형 거동이 발생한다고 알려져 있으 므로[26], 산란 현상을 다룰 때는 지반의 파동 증폭효과를 배제할 수 있는 깊이를 설정할 필요가 있다고 생각된다. 그리고 깊은 borehole을 이용한 관 측결과의 경우 지표와 borehole 내부에서 위상의 변화는 크지 않지만[27], 진폭의 변화는 여러 가지 요인에 의한 영향이 상대적으로 크게 나타나므로 지표면보다는 안정적인 조건을 얻을 수 있는 일정 깊이 이상을 생각하는 것 이 편리하다고 생각된다. 이에 여기에서는 공학적 기반암 이상의 깊이를 상 정하고 관측결과 등을 고려하여 κ =1을 가정하였다. 이 값은 일본열도에 서 진원과 관측점 사이에 화산대가 없는 전방지역 (forearc region)에서의 관측값과 같다[10]. 그리고, κ =1의 경우 장파장 변동이 주로 작용하고 모 든 진동수에 대한 ζ의 영향이 미미하므로 ζ=1로 설정하였으며, Vo, a, ∈은 기존 연구[25, 28]를 참고하여 각각 4.0 km/s, 5.0 km, 0.1을 가정하였다.

    3.3 von Kármán 형 스펙트럼을 이용한 ISD의 근사

    식 (29)와 식 (34)의 합성적으로 얻은 포락함수를 Markov envelope라 고 한다[24]. 그런데 식 (34)는 무한급수형식을 취하고 있어 합성적을 계산 하기 어렵다. 이에 본 연구에서는 식 (34)의 지수함수가 빠르게 0에 수렴하 는 특성이 있는 점을 이용하여 충분히 큰 n에 대한 수치해석을 수행하고, 그 결과에 대해 다음의 3 변수 감마분포의 확률밀도함수를 MATLAB®의 비 선형 최소이승법 알고리즘 (lsqnonlin)을 이용해 근사시켜 3 변수를 추정 하였다. 그리고, kc에 대해서는 tW , tM 모두 κ =1의 경우 Fig. 1과 같이 진 동수의 영향을 받지 않으므로 ωc =6 Hz의 경우만을 고려하였다.

    p ( t * − t o ) = β α Γ ( α ) ( t * − t o ) α − 1 exp [ − β ( t * − t o ) ] H ( t * − t o )
    (42)

    여기서, H( )는 Heaviside의 step 함수를 나타내고, to은 식 (34)의 t* ≈0 근처에서의 시간 지연을 나타낸다.

    Fig. 2에 식 (42)를 이용한 근사결과를 나타낸다. 그림에서 알 수 있듯이 식 (42)의 적합성은 tM이 큰 경우의 t* =to 부근을 제외하면 충분하다고 생 각된다. t* =to 부근은 식 (29)와의 합성적에 의해 변동하는 파동전파속도 의 영향을 받게 되므로 식 (34)나 식 (42)의 인과성 (causality)가 없어지는 것 외에 상대적으로 중요성이 떨어진다고 생각된다.

    Fig. 3에 tM에 대한 각 변수의 추정결과를 보인다. 결과에서 우선 주목할 필요가 있는 것이 tM은 식 (41)에서 알 수 있듯이 거리의 제곱에 비례하는 변 수인데, α에 관한 결과는 r0에 상관없이 α≈2.0인 점이다. 고전적인 RTT 의 응용에서는 산란체와의 충돌확률을 지수분포로 가정하고 α를 산란체와 의 충돌횟수로 생각하는데, 이때 매질의 평균 자유 행로 (mean free path) 와 밀접한 관련이 있는 변수 β는 일정한 값을 갖는다. 이것은 Poisson의 극 한 정리 (Poisson Limit Theorem)에 의한 결과[15]이며, 거리의 증가에 따 른 산란 효과의 변화가 증가하는 α값으로 나타나는 것은 정상 Poisson 과 정 (homogeneous Poisson process)의 경우에만 해당한다.

    한편, 파동전파매질의 역학적 관점에서 α의 의미는 반드시 정상 Poisson 과정의 경우와 같지 않다. 이와 관련하여 식 (42)의 푸리에변환으로 정의하 는 특성함수인 식 (43)과 식 (33)의 비교를 절댓값과 위상으로 나누어 Fig. 4에 보인다. 단, 비교를 위해 절댓값의 최댓값을 1로 기준화 하였다.

    φ ( j ω d ) = ( 1 − j ω d β ) − α
    (43)

    그림에서 가로축은 무차원수인 tMωd와 ωd/β를 나타내고 왼편 세로축 은 절댓값, 오른편 세로축은 위상 (radian)을 나타낸다. 그림에서 알 수 있듯 이 α=2.0은 식 (33)과 비교해 절댓값이 약 1/100로 감소할 때까지는 감쇠 경향을 잘 나타내지만, 그 이후로는 식 (33)의 감쇠 경향보다 상당히 완만 히 감소하는 것을 알 수 있다. 한편, 위상을 비교하면 절댓값의 경우보다 차 이가 크게 나타나는데, 이는 감마분포의 특성함수가 최소위상 (minimum phase)의 특징을 갖고 있어, Kramers-Kronig Relations에 의해 이론적으 로 평가되는 인과성 필터의 최대 위상지연 απ/2≈π를 갖지만[29], 식 (33)은 감마분포의 최소위상특성을 갖는 필터 기능 이외에 지연위상특성 을 갖는 저역통과필터가 추가된 특성을 갖기 때문이다. 이와 같은 차이에 도 불구하고 Fig. 2에 보인 확률밀도함수의 비교에서 차이가 크게 나타나 지 않은 이유는 그 영향이 나타나는 곳의 coherence 함숫값이 상당히 작기 때문이다. 그리고, 이 범위는 실 지진 기록의 dynamic range (진폭 기준 약 20 dB, 에너지 기준 약 40 dB)와 비슷하므로 식 (42)를 이용한 근사는 같은 dynamic range를 기준으로 볼 때 현실적으로 타당하다고 생각된다.

    한편, β와 tM의 관계는 Fig. 4의 가로축에 대한 설명에서 이미 언급한 바와 같이 β ∝ t M − 1 의 관계를 갖는데, Fig. 3에 나타낸 근사결과는 이들 두 변수 사이 의 관계가 β =3.913/tM임을 나타낸다. 그리고, to 역시 tM과 to ≈0.123tM의 관계를 갖는다. 이를 바탕으로 확률밀도함수의 최댓값에 해당하는 지연시 간을 감마분포의 확률밀도함수의 최빈값 tm =(α-1)/β을 이용해 구하면 to +tm =0.3785tM으로, Sato et al.[10]이 식 (34)에 대한 해석 결과로부터 얻은 약 0.37tM과 거의 같다.

    이상의 고찰에서, β ∝ r o − 2 이고, 감마분포의 표준편차가 α / β 이므로 산란에 의한 지연시간은 r o 2 에 비례하여 증가하는 것을 알 수 있다. 그러므 로, 지진동의 계속시간 역시 w함수의 영향을 고려하지 않으면 Petukin and Gusev[30]가 지적한 것처럼 r o 2 에 비례하여 증가하게 된다. 그리고, β가 r o − 2 에 비례하고 α=2로 일정하다는 것은 RTT의 고전적인 응용에서 다중 산란의 정상 Poisson 과정으로 나타냈던 것과는 달리, 산란과정이 1차 산란 (single-scattering)의 비정상 Poisson 과정 (inhomogeneous Poisson process)임을 의미한다[15, 20]. 또한, 식 (34)는 tM의 함수이고, tM은 Vo, a, ∈, κ, ζ에 의해서 결정되므로, 산란패턴을 포함한 어떠한 조합의 von Kármán 형 스펙트럼 변수에 대해서도 감마분포의 확률밀도함수로 근사 표현할 수 있다.

    3.4 지진동의 전파지연시간 비교

    지진동의 계속시간은 2장에서 이미 언급한 바와 같이 지반가속도의 2승 적분이 1이 되도록 정규화한 Arias Intensity를 이용하여 정의한다. 한편, 지반가속도 스펙트럼의 진동수 대역특성과 같이 코너진동수 fc와 source controlled fmax의 사이에서는 스펙트럼이 일정하고 그 이외의 진동수 대 역에서는 스펙트럼이 급격하게 감소하는 경우[31], 식 (19)의 강도 함수는 κ =1일 때 ISD의 핵심변수인 tW와 tM이 Fig. 1에 보인 것과 같이 중심진 동수와 상관없이 거의 일정하므로 ISD에 진동수 대역폭을 곱해 얻을 수 있 고, 강도 함수로 정의한 2승평균 포락곡선은 ISD와 같은 군지연 시간의 확 률밀도함수에 비례한다고 볼 수 있다. 그러므로, 계속시간을 평가하는데 필 요한 시간 적분이 1이 되도록 정규화한 2승 평균 포락곡선은 식 (19)에 보인 것처럼 표준편차 tW, 평균 0인 정규분포의 확률밀도함수와 3변수 (α,β,to) 를 갖는 감마분포의 확률밀도함수 (식 (42))의 합성적과 같다. 합성적의 사 례를 Fig. 5에 나타낸다.

    지진동의 계속시간에 대한 지표로는 정규화된 2승평균 포락함수의 적 분이 0.05되는 시간과 0.75 또는 0.95가 되는 시간의 차를 갖고 정의한 누 적 5%~75% 시간 (SD5-75) 또는 누적 5%~95% 시간 (SD5-95)가 많이 사용된다. 그런데, Choi and Yoon[12]의 PEER NGA West2 데이터베이 스 기록해석에 의하면 SD5-95는 SD5-75의 약 2.3~2.4배이고, SD5-75의 경우 2승 평균 포락함수의 표준편차와 비슷하므로 이들 지표 간의 경험적 관계를 정규화된 2승평균 포락함수의 경우와 비교해 확인할 필요가 있다. 한편, 합성적으로 평가한 2승 평균 포락함수의 표준편차는 이론적으로 각 분포함수의 표준편차의 제곱합제곱근에 해당하므로 σ t 2 = t W 2 + 0.131 t M 2 로 알 수 있다. 또한, 정규분포와 감마분포는 표준편차 tW와 β가 스케일 변수 이므로 모든 quantile은 이들 두 변수에 의해 결정되고, SD5-75와 SD5-95 는 σt에 비례한다. 이런 특징은 Petukin and Gusev[30]가 진원 거리와 시간 에 의존하는 포락함수를 간단히 표현하기 위해 생각한 universal function 의 요구조건과 부합한다.

    지진동 기록을 이용하여 진원에서의 계속시간을 배제하고 순수한 파동 전파경로에서 증가한 지연시간, 즉 전파지연시간을 평가한 사례로 Boore and Thompson (이하 BT14)의 연구[32]가 있다. BT14 는 PEER NGA West2 데이터베이스의 지진동 기록을 이용해 평가한 SD5-95에서 진원에 서의 계속시간을 1/(2fc)로 가정하고, 이를 제외한 나머지 시간을 파동전 파경로에서 발생한 지연시간의 SD5-95 (Path Duration)으로 정의해, 지 진의 규모 및 지반의 종류와는 상관없는 경험식을 제시하였다. 경험식과 사 용 데이터의 대응 관계를 Fig. 6에 나타낸다. 그리고 Fig. 7에는 합성적 결 과의 수치적분으로 계산한 전파지연시간의 표준편차와 SD5-95의 비교결 과를 나타낸다.

    그림에서 알 수 있듯이 가까운 진원 거리에서는 정규분포의 표준편차가 감마분포에 비해 크기 때문에 포락함수도 정규분포에 가깝고 전파지연시 간도 정규분포에 의해 결정되지만, 검토한 전체 진원 거리 범위에서 합성적 에 의한 평가는 경험식과 비교해 전파지연시간을 과소평가하여, 기록해석 결과의 거의 최솟값에 해당하는 것으로 나타났다. 그 이유로 감마분포의 근 사 정도를 생각할 수 있겠지만 오차가 발생하는 부분이 확률밀도함수가 작 은 부분이기 때문에 분산과 같은 저차 모멘트에 대한 영향이 크지 않다고 생 각된다. 다른 하나의 원인으로 생각할 수 있는 것은 지진동 기록의 경우, 중 심진동수에 대한 군지연 시간의 표준편차가 스펙트럼값의 역수에 비례한 다는 점이다[12], [33, 34]. 이에 대한 물리적 이유로는 잡음의 영향을 들 수 있는데, Aki and Richards[35]는 배경잡음이 있는 경우 위상차의 표준편 차, 즉 군지연 시간의 표준편차가 진폭 스펙트럼의 역수에 비례함을 이론적 으로 보였다. 잡음 이외에도 저진동수 (장파장) 성분의 경우 지표층의 wave guide 현상에 의한 표면파의 영향이 큰 것도 이유의 하나로 생각할 수 있고, 고진동수 (단파장) 성분의 경우 불균질하고 불연속인 매질의 다양한 감쇠 효 과에 의해 원래의 위상특성이 왜곡되고 신호의 S/N 비 (Signal-to-Noise Ratio)가 저하하는 현상이 저진동수 성분과 비교해 현저하게 발생할 수 있 으므로 위상차의 표준편차가 증가하고, 진원 거리가 증가함에 따라 종국에 는 백색잡음의 특성을 갖게 된다고 생각한다 [12]. 고진동수 성분의 S/N 비 가 저진동수 성분에 비해 낮아지는 것은 source-controlled fmax의 영향도 있다. 그 이유는 암석의 전단파괴 실험결과에 관한 Ohnaka[36]의 해설과 같이 진원에서 형성된 fmax이상의 진동수 성분은 파괴면 미끄러짐에 따른 마찰로 인해 파동 에너지로 전부 방사되지 않고 일부 에너지는 열에너지로 바뀌어 파괴면 주변으로 전달되며, 파장이 짧을수록 마찰을 통해 열에너지 로 변환되는 비율이 증가한다고 생각되기 때문이다. 그러므로 중심진동수 와 상관없이 일정한 확률밀도함수를 가정해 얻은 합성적의 표준편차는 결 과적으로 과소평가가 된다. 이를 고려해 3tW를 표준편차로 하는 w함수를 사용한 결과를 Fig. 8에 나타낸다. 그림에서 알 수 있듯이 합성적에 의한 결 과는 BT14의 경험식을 잘 나타내고 있으며, 표준편차는 BT14의 경험식을 2.3으로 나눠 추정한 SD5-75와도 비슷해, 계속시간에 관한 경험적 관계를 상당 부분 재현하고 있다. 또한, 진원 거리 100 km 이하의 경우 포락함수의 형태가 정규분포와 유사하여 위상차와 군지연 시간의 확률밀도함수도 정 규분포의 특성을 갖는다고 할 수 있다. 그리고 그 이상의 진원 거리에 대해 서도 합성적의 영향으로 이러한 경향은 상당한 거리 범위에 걸쳐 유지되므 로 위상차의 확률분포가 정규분포에 가깝다는 기존 연구결과와 정합한다. 한편, 지연시간은 합성적에 의해 r 0 1 / 2 ∼ r 0 2 의 관계를 갖는데, 진원 거리 100 km를 전후해서는 r0에 비례하므로, Petukin and Gusev[30]의 러시아 캄 차카 지역에서 발생한 지진 기록의 해석 결과와도 일치한다.

    이상의 고찰 결과, Markov 근사를 이용한 TFMCF의 마스터 방정식 해 석에서 매질효과는 거리효과와 비교해 상대적으로 중요하고, 진원 거리 약 200 km 범위에서는 포락함수의 형상이 매질효과에 의해 좌우됨을 알 수 있 다. 또한, Lambert and Rickett[23]는 성간물질 (interstella medium)의 산란 효과에 관한 이론해석에서 거리효과를 나타내는 0Γ2와 매질효과를 나 타내는W를 각각 회절 항 (diffractive term, ΓD)과 굴절 항 (refractive term, ΓR )이라고 하고, 거리효과를 무시하는 것은 방사상 산란 (radial scattering)에 의해 발생하는 회절효과가 무시할 수 있을 정도로 작고 파동 장의 변동이 위상변동, 즉 매질의 분산지연 때문에 주로 발생함을 의미한다 고 하였다. 그리고, Frankel and Wennenberg[37]는 energy-flux 모델에 관한 논문에서 지수함수형 ACF를 갖는 매질에 대한 파동방정식의 유한 차 분 (Finite Difference, FD) 해석을 통해 coda파의 Q-factor는 내부 감쇠에 관한 지표이지 산란에 의한 Q-factor와는 거의 상관없다고 주장했는데, 이 와 같은 주장은 Lambert and Rickett의 설명 중 진원거리가 짧아 거리효과 가 상대적으로 미약한 경우에 해당된다고 생각된다. 또한, 관측기록의 해석 을 통해 얻은 유효 평균자유행로 (effective mean free path)가 수백 km임 을 고려할 때[21, 30] 100 km 정도 거리의 파동전파에서 다중 산란이 발생 한다고 생각하기 어렵고, 직달성분의 도착시간 (α=1)을 제외하면 α=2 는 1차 산란 후 관측점에 도달할 때까지의 지연시간을 나타내므로, 가장 간 단한 산란모델로 1차 후방산란 (single-backscattering)을 가정했던 Aki and Chouet[38]과 Aki[39]의 coda 파 특성에 관한 초기 연구와 비교해 산 란패턴을 제외하면 같은 속성을 갖는다고 할 수 있다.

    3.5 PGA의 거리감쇠

    2승평균 포락함수의 형태를 결정하는 표준편차 σt가 거리에 따라 변화 하므로, 포락함수의 최댓값도 σt의 거리 의존성에 따라 감소한다. 한편, PGA의 거리감쇠식은 2승평균 포락함수의 제곱근의 최댓값이 거리에 따 라 감소하는 경향을 나타내는 것이므로, 평탄한 스펙트럼 특성과 3.4에서 평가한 확률밀도함수의 합성적의 제곱근을 이용하면 분산지연을 포함한 산란 효과에 의한 PGA의 거리감쇠를 살펴볼 수 있다.

    Fig. 9에 3.4에서 평가한 식 (29)와 식 (42)의 합성적의 제곱근으로부터 평가한 최댓값의 거리변화를 나타낸다. 단, 정규분포의 표준편차는 3tW를 가정한 결과이지만, 표준편차의 거리 의존성은 변하지 않으므로 상대변화를 보는 거리감쇠에는 영향이 없다. 그림에서 최댓값의 거리에 대한 변화는 2개 의 지수함수를 이용하여 나타낼 수 있는데 근거리에서의 변화는 포화 효과의 영향이 포함되어있지 않으므로 제외하고, 50 km 이상의 진원 거리만 대상으 로 보면 exp(-0.0033r0)에 따라서 감소한다. 한편 이것을 Campbell[2]의 거리감쇠식과 같은 부류의 기존 유효 감쇠 (ED)식 중에서, 진원 깊이 30 km 이하의 지진에 대한 많은 관측기록을 토대로 검증된 대표적인 모델인 Si and Midorikawa[4]와 Kanno et al.[5]등과 비교하면,

    log 10 E D = − π f r 0 Q V o ln ( 10 ) = − 0.0031 r 0
    (44)

    여기에 Q=Qof, Vo ≈π를 가정하면 Q o − 1 ≈0.0071을 얻는다. 이를 Fig. 9 의 최댓값의 거리감쇠 기울기와 비교하면, 분산지연을 포함한 산란 효과에 의한 최댓값의 거리 감쇠는 유효 감쇠의 약 50%에 해당한다. 이는 이탈리 아 북중부 지역에서 발생한 지진 기록을 이용한 다중시간창해석 (Multiple Lapse Time Window Analysis, MLTWA)에서 중심진동수 3~12 Hz에 대해 얻은 지진 알비도 (seismic albedo, 0.54~0.65, [40])와 비슷하다.

    최댓값의 거리 감쇠를 유효 감쇠 및 기하 감쇠 ( r 0 − 1 )를 포함한 거리감쇠 와 비교한 결과를 Fig. 10에 나타낸다. 각각의 결과는 진원 거리 10 km에 대한 값으로 기준화하였고, 근거리에서의 최댓값의 거리감쇠에는 포화 효 과가 고려되지 않았으므로 크기의 차이가 있지만, 전체적으로 진원 거리 100 km 이내에서는 유효 감쇠와 최댓값에 대한 분산지연을 포함한 산란감 쇠의 기울기가 거의 같으므로, 내부 감쇠의 영향은 데이터의 변동성을 고려 한다면 진원 거리를 200~300 km의 구간까지 확장하지 않으면 구분이 어렵 다고 생각된다. 그리고 이러한 경향은 국내의 경우와 비교해 크게 다르지 않 다고 생각된다. 그 이유는 한반도에서 발생한 지진을 대상으로 조사한 S파 의 Q-factor[41-45]가 식 (44)와 크게 다르지 않기 때문이다.

    4. 결 론

    본 논문에서는 파동전파매질의 특성에 의해 변화하는 포락함수의 특성 을 통해 위상차의 확률밀도함수를 보고자 하였다. 이를 위해, 먼저 포락함 수와 위상차의 관계에 관한 이론적 고찰을 통해 위상의 진동수에 대한 미분 으로 정의되는 군지연 시간이 진폭 또는 에너지 스펙트럼의 진동수 성분을 시간영역에서 국소화 (time localization) 시키는 위치를 나타냄을 보였다. 그리고, 이를 통해 지반가속도 스펙트럼과 같이 진폭이 일정한 진동수 대역 이 뚜렷한 경우 포락함수는 시간에 대한 적분을 통해 면적이 1이 되도록 정 규화하면 위상차의 확률밀도함수와 등가임을 설명하였고, 이를 바탕으로 지반가속도에 대한 2승 평균 포락함수의 시간 적분을 이용해 정의하는 지 진동 계속 시간도 위상차의 확률밀도함수에 의해 결정됨을 보였다.

    특히, 파동전파매질의 전단파 속도에 관한 통계적 특성이 von Kármán 형 스펙트럼일 경우, 포물선형 근사방정식에 Markov 근사를 적용한 TFMCF 에 관한 확률미분방정식의 해가 본 논문에서 정의한 3 변수 감마분포와 정규 분포의 확률밀도함수의 합성적으로 근사할 수 있음을 보이고, 감마분포가 나타내는 산란에 의한 지연시간은 산란과정이 기존 연구와는 달리 singlescattering의 비정상 Poisson 확률과정임을 설명하였다. 그리고 두 확률밀 도함수의 합성적으로 평가한 누적 에너지 5~95%에 소요되는 전파지연시 간인 SD5-95와 Boore and Thompson이 PEER NGA West2 데이터베이 스 기록해석을 통해 얻은 전파지연시간에 관한 경험식을 비교하였다. 그 결 과, 합성적을 이용해 평가한 SD5-95는 진원 거리 10~300 km의 범위에서 경험식과 대체로 일치하였으며, 전파지연시간의 표준편차는 SD5-75와 비 슷한 결과를 얻어 기존 연구에서 얻은 특징을 재현하였다. 단, 이와 같은 결 과는 확률미분방정식을 이용한 이론해석에서 배경잡음의 영향 등이 고려 되지 않아 매질효과에 의한 분산지연을 나타내는 정규분포의 표준편차가 과소평가되는 경향이 있어, 이를 수정하기 위해 3배의 표준편차를 가정해 얻은 결과이다. 또한, 전파지연시간과 진원 거리와의 관계로부터 진원 거리 약 100~200 km 범위에서는 산란에 의한 거리효과가 매질효과보다 상대적 으로 약하여 위상차의 확률밀도함수는 정규분포의 형상을 하고, 이러한 특 징은 진원 거리가 200 km를 초과해도 상당한 거리에 걸쳐서 유효함을 보였 다. 또한, 이런 특징은 지진동 기록의 위상 스펙트럼 해석을 통해 얻은 기존 연구의 결과와 같다.

    최대지반가속도의 거리감쇠는, 거리감쇠를 산란 감쇠와 내부 감쇠를 합 친 유효 감쇠와 기하감쇠로 나누고, 이를 TFMCF에 관한 확률미분방정식 의 근사해에서 얻을 수 있는 포락함수의 거리감쇠와 비교하여, 진원 거리 100 km 이하에서는 유효 감쇠와 분산지연을 포함한 산란 효과에 의한 최댓 값의 감쇠가 상당히 비슷함을 보였다. 이는 감쇠 기울기만으로 유효 감쇠에 서 내부 감쇠를 분리하기 어렵다는 것을 의미한다. 또한, 진원 깊이 30 km 이하의 지진에 대해 검증된 유효 감쇠식의 Q-1과 비교해 산란 효과에 의한 값이 약 50%에 해당함을 보였는데, 이는 중심진동수 3~12 Hz의 지진 알비 도에 관한 해외연구결과와 비슷하다.

    본 논문에서 사용한 von Kármán 형 스펙트럼은 제한적 설정이라고 할 수 있다. 그러므로 향후 관측결과를 바탕으로 광각산란을 전제한 단파장 성 분의 영향을 신호의 잡음화 과정과 연계하여 검토할 수 있는 다양한 조건의 추가연구가 필요하다.

    / 감사의 글 /

    본 연구는 국토교통부 주거환경연구사업의 연구비 지원 (22RERPB099826- 08)에 의해 수행되었습니다.

    Figure

    EESK-26-5-191_F1.gif

    Characteristics of tW and tM with respect to κ and ωc

    EESK-26-5-191_F2.gif

    Approximation of the Markov envelope without wandering effect (4πro2VoIS,0(r0,t;ωc)) with Eq. (42)

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    Approximated three parameters in gamma probability density function (Eq. (42)) with respect to tM

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    Comparison of the theoretical absolute function and its phase of Eq. (33) with the absolute value of the characteristic function of gamma pdf and its phase

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    Example of Markov envelope

    EESK-26-5-191_F6.gif

    Path duration analysis results and the empirical formula (BT14) derived by Boore and Thompson [32]

    EESK-26-5-191_F7.gif

    Estimated path duration from the approximated Markov envelope and comparison with BT14 [32]

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    Estimated path duration from the approximated Markov envelope with different standard deviation in normal distribution for the additional noise effect and comparison with BT14 [32]

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    PGA attenuation derived from the approximated Markov envelope neglecting the geometrical attenuation

    EESK-26-5-191_F10.gif

    Comparison of the estimated scattering attenuation and combined attenuation with geometrical attenuation to the representative empirical models (SM99 [4], Kanno06 [5])

    Table

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