1. 서 론

최근 필자는 Ohnaka and Yamashita[1]가 제시한 균열 선단 영역 (cohesive zone, process zone 또는 breakdown zone)에서의 응력 강하량 (stress drop)과 미끄럼 변위와의 관계를 나타내는 스케일링 모델을 선형탄 성 파괴역학 (Linear Elastic Fracture Mechanics, LEFM)의 기존 이론과 Papageorgiou and Aki[2]의 specific barrier 모델에서 제시한 지진동 스 펙트럼의 고진동수 영역 차단진동수 f_max, 그리고 스펙트럼의 코너 진동수 f_c를 이용하여 원형 단층 전체로 확장하고, 단층 파열속도가 지진의 크기에 따라 변화하는 스케일 의존성이 있음을 보였다[3]. 이하에서는 확장된 스 케일링 모델을 ESWM (Extended Slip-Weakening Model)이라고 부르 기로 한다. 한편, 지금까지 가장 일반적으로 사용된 응력 강하량과 미끄럼 변위에 대한 스케일링 모델은 Eshelby[4], Keylis-Borok[5]에 의한 파동 방정식의 이론 해에 Brune[6]이 제시한 코너 진동수 f_c에 대한 무차원수를 적용한 것이다. 이하에서는 이 모델을 EBM (Eshelby-Brune’s Model)로 부르기로 한다. Brune의 무차원수는 단층 파열속도가 지진의 크기와는 상 관없이 일정하다는 스케일 독립성을 내포하고 있는데, 지진동 계측기술의 발달과 진원변수 (source parameters) 추정기술의 발전으로 진원의 특징 에 따라 단층의 파열속도 역시 다양할 수 있음이 밝혀지고 있다[7]. 하지만 단층 파열속도의 스케일 의존성은 Abercrombie and Rice[8]가 언급하였 듯이 일반적으로 무시되어 왔고, 진원과정 (rupture process)의 특징을 나 타내는 진원변수 역시 단층 파열속도가 일정하다는 가정하에 평가해 왔다. 그 중, 응력 강하량의 스케일 의존성 여부는 Aki[9]의 자기 유사성 (selfsimilarity) 성립 여부와 관련하여 오랜 기간 논란의 대상이 되어 왔고, 논쟁 은 분명한 결론 없이 여전히 진행 중이다. 한편 Causse and Song[10]은 최 근 관측기록과 점 진원 (point source)를 가정한 확률론적 시뮬레이션 기술 을 사용하여 최대지반가속도 (Peak Ground Acceleration, PGA)의 변동성 을 검토하고, PGA의 변동성은 응력 강하량, 단층의 파열속도와 이들 두 변 수 사이의 상관관계에 의해 변화함을 보였다. 그리고 이들 변수를 포함한 수치 시뮬레이션을 통해 응력 강하량과 단층 파열속도를 서로 독립으로 가 정할 경우 PGA의 변동성을 과대평가하게 되고, 응력 강하량과 단층의 파 열속도는 서로 부상관 (anti-correlation) 관계가 되어야 함을 주장하였다. 또한, Tinti et al.[11]은 Yoffe[12]가 균열이론을 이용하여 구한 진원-시간 함수 (source-time function)의 불연속성을 해결하기 위해 삼각형 함수와 의 합성적 (convolution)을 통해 새로운 진원-시간 함수 (regularized Yoffe function)을 제안하고, 이를 적용한 kinematic rupture model의 수치해석 을 통해 최대 미끄럼 속도 (peak slip-rate)가 일정할 경우 응력 강하량과 단 층 파열속도 사이에 부상관 관계가 있음을 보였다. 그리고, Choi et al.[13] 은 일본의 Kanto 지역과 Tohoku 지역의 태평양 연안 해역에서 발생한 지 진 중 진원 깊이 30 km 이상의 지진에 대해 ESWM을 적용해 검토한 결과, 응력 강하량과 단층 파열속도와의 사이에 부상관 관계가 있음을 지적하였 는데, 이러한 경향이 진원 깊이와 상관없는 일반적인 경향인지에 대해서는 확인하지 못하였다.

한편, 같은 규모의 지진이라도 지진동의 진동수별 에너지의 강약은 다양 하다. Baltay et al.[14]은 이러한 특징을 가리켜 energetic 지진과 enervated 지진이라고 하였는데, 지진동의 진동수별 에너지 분포 특성을 논하기 전에 지진동의 강약에 대한 일차원적인 지표로 진원에서의 최대 미끄럼 속도 또 는 최대가속도를 들 수 있다. 이 중 최대 미끄럼 속도는 Ida에 의한 이론적 연구[15]와 Ohnaka and Yamashita의 실험 및 이론적 연구[1], 그리고 Tinti et al.의 수치해석을 이용한 연구[11]에서 밝힌 바와 같이 응력 강하량 과 단층 파열속도의 곱에 의해 결정되는데, 응력 강하량과 단층 파열속도의 사이에 부상관 관계가 있다면 그 정도에 따라 최대 미끄럼 속도가 변화하게 된다. 그런데 진원에서의 최대 미끄럼 속도는 경로효과 (path effect)와 표 층지반의 증폭효과 (site effect)를 통해 절댓값의 크기는 변하겠지만 지표 면에서 나타나는 최대 지반속도 (Peak Ground Velocity, PGV)와 밀접한 관련이 있다. 그리고 우리는 PGV가 지진의 크기에 비례한다는 것을 경험 을 통해 알고 있으며, 단층의 파열속도 역시 필자의 최근 논문[3, 13]에서 밝힌 바와 같이 지진의 크기에 의존한다. 이때 응력 강하량과 단층 파열속 도 사이에 부상관 관계가 성립하기 위해서는 응력 강하량이 지진의 크기에 반비례하고, 그 정도는 단층 파열속도의 스케일 의존성보다 상대적으로 약 해야 한다. 이와 같은 응력 강하량의 스케일 의존성은 앞서 언급한 EBM에 서 가정한 것과는 서로 다른데, 여기에는 (E)SWM과 EBM에서 응력 강하 량의 정의가 서로 다르고, EBM의 경우 응력 강하량 (Brune’s effective stress)의 물리적 의미가 불분명한 것도 한 가지 이유로 작용한다고 생각된 다. 따라서 응력 강하량의 스케일 의존성과 단층 파열속도와의 관계를 규명 하기 위해서는 두 개의 모델에서 나타내는 응력 강하량 사이의 관계를 분명 히 할 필요가 있다.

다음으로, ESWM에서 단층 파열속도는 표층지반의 증폭효과의 영향 을 피할 수 있는 비교적 깊은 borehole 관측기록을 이용해 얻은 진원 스펙트 럼 (source spectrum)의 f_c와 f_max를 이용하여 평가할 수 있는데, LEFM 이론을 이용한 Fossum and Freund[16], Kostrov[17]와 Eshelby[18] 등 의 연구결과에 의하면 진원에서의 지진파 방사 효율 (radiation efficiency) 는 단층의 파열속도에 의해 독립적으로 결정된다. 따라서, 만약 단층 파괴 과정에서 열로 소비되는 에너지를 제외한다면, 단층 주변에 축적된 탄성변 형 에너지 (total potential energy)는 지진 발생 과정에서 단층의 파괴 에너 지 (fracture energy)와 지진파 방사 에너지 (radiation energy)로 소비된다 고 볼 수 있으므로, 에너지 수지 (energy budget) 역시 단층의 파열속도에 의해 결정된다.

한편, 단층의 파괴 핵 형성과정 (rupture nucleation phase)에 관한 Ellsworth and Beroza의 연구[19]는 지진의 발생 메커니즘에 관한 모델로 cascade 모델과 pre-slip 모델 두 가지를 제안하였고, Udías et al.[20]은 지 진 발생이 이 들 두 가지 메커니즘의 결합으로 발생한다고 보았다. 그리고 Ohnaka[21]는 화강암을 이용한 stick-slip에 관한 실내실험결과로부터 SWM을 이용해 얻은 단위면적당 단층파괴 에너지를 나타내는 에너지방출 률 (energy release rate)가 Ellsworth and Beroza[19]의 30개 지진에 대 해 얻은 결과와 일정한 스케일링 관계에 있음을 보였다. 이는 필자가 최근 논문[3]에서 지적한 바와 같이 지진파의 에너지 전달과정이 f_max에 해당하 는 파장, 즉 dissipation scale에서 cascade-up 과정을 통해 장주기 파장으 로 전달됨을 나타내고, 난류의 생성과 발달과정의 특징을 압축적으로 나타 내는 Kolmogorov의 가설과 매우 유사한 속성을 갖는 것을 의미한다. 그러 므로 단층 파괴과정의 응력 강하량과 이에 따른 최대 미끄럼 속도 및 에너지 수지는 단층 주변에 축적된 탄성변형 에너지로부터 균열 선단 영역에 공급 되는 단위 시간당 에너지, 즉 에너지 유입량 (energy flux)[20], [22], [23] 와 밀접한 연관성이 있다고 볼 수 있다. 그러나 지금까지 일반적으로 단층 파열속도는 일정하다고 가정하였기 때문에 에너지방출률과 단층 파열속도 의 곱으로 정의되는 에너지 유입량은 진원변수의 스케일링 관계에 고려되 지 않았다.

이상에서 살펴본 바와 같이 진원에 관한 정적 동적 변수는 모두 단층의 파열속도의 영향을 받는다. 따라서 기존에 일반적으로 사용하여 온 일정한 단층 파열속도를 가정한 EBM과 단층의 파열속도의 스케일 의존성을 고 려한 ESWM과의 관계는 응력 강하량의 정의와 단층 파열속도의 차이에 의해 일의적으로 설명할 수 있을 것이다. 그래서 본 논문에서는 문헌 조사 [24-33]를 통해 얻은 1987년부터 2016년까지 일본열도에서 발생한 진원 깊이 25 km 이하의 113개 지진 (M_W 3.0~7.5)에 대한 spectral inversion 결과 중, f_c와 f_max를 이용해 추정한 단층의 파열속도로부터, 진원의 특성을 나타내는 응력 강하량, 지진파 방사 에너지와 지진모멘트의 비, 에너지방출 률, 그리고 진원에서의 최대 미끄럼 속도를 추정하고, 이를 기존연구와 비 교하여 ESWM의 타당성을 검토하였다. 그리고 ESWM에 의한 응력 강하 량 평가 결과를 EBM을 이용한 기존연구의 결과와 비교하고, 두 모델의 이 론적 관계에 대한 고찰을 통해 EBM에 의한 응력 강하량의 물리적 의미를 파악하고자 하였으며, 이들 진원변수의 에너지 유입량에 의한 스케일링 관 계를 검토하였다.

2. EBM과 ESWM의 개요

2.1 EBM (Eshelby-Brune's Model)의 개요[20]

Poisson 계수가 1/4인 탄성 재료로 구성된 원형 단층을 가정한다. 단층 파괴 진행 중의 반경을 r, 종료 후의 반경을 r_e, 그리고 파괴된 두 단층 면의 상대 변위를 D(r)이라 하고, 파괴가 종료된 단층면의 외부에서의 변위는 0 으로 가정한다. 즉 D(r≥r_e)=0. 한편 파괴된 단층으로부터 멀리 떨어진 위치에서의 응력 (initial stress 또는 ambient tectonic stress) σ₀은 일정하 다고 보고, 파괴된 단층 내부의 잔류응력 σ_r을 0이라고 할 때, 응력 강하량 ∆σ_e와 파괴면적 ( A e = π r e 2 )에 대한 평균 변위 D_e와의 사이에는 다음과 같 은 스케일링 관계가 성립한다.

여기서 μ는 단층 주변 재료의 전단탄성계수를 나타낸다. 그리고, 식 (1)에 대하여 동적 유사성 (dynamic similarity)가 성립한다고 가정하면, 응력 강 하량은 다음 식과 같이 코너 진동수 f_c와 지진모멘트 M_o(= μD_eA_e)로부터 평가할 수 있다.

여기서 V_s는 단층 주변에서의 S파 속도를 나타내고, k는 동적 유사성을 나 타내는 무차원수 (dimensionless number)이다.

한편 Brune[6]은 k에 대해 2.34/2π≃0.372를 제안하였는데, 이를 식 (2)에 대입하면 본 논문에서 EBM이라고 부르는 다음의 스케일링 관계를 얻는다.

그리고 Δ σ e B 를 Brune의 유효 응력 (Brune’s effective stress)라고 부르 기도 한다. 식 (4)에서 알 수 있듯이, 응력 강하량의 스케일 의존성은 f_c의 스 케일 의존성에 의해 결정된다. 예를 들어 f_c∝M_o^-1/3이라면 응력 강하량은 M_o와 상관없이 일정한 값을 갖게 되는데, 이때 M_o∝r_e³이 되고 자기 유사 성이 성립한다고 한다. 한편, Brune의 k 대신 Madariaga[33]의 이론 연구 에서 도출된 무차원수 k = 0.21을 적용한 것도 식 (4)와 더불어 많이 사용되 는데, 이를 Δ σ e M이라고 하면 Δ σ e M≃5.56 Δ σ e B의 관계가 성립한다.

2.2 ESWM (Extended Slip-Weakening Model)의 개요[3]

SWM과 EBM의 근본적인 차이점은 Fig. 1에 보인 것과 같이 균열 선단 영역이라고 부르는 균열 선단 (crack tip 또는 rupture front) 부근에서의 응 력과 변위의 관계에 있다. EBM이 균열 선단의 내외부 경계에서 응력과 미 끄럼 속도가 불연속성 (inverse square root singularity)을 갖는 것과 달리, SWM은 균열 선단 영역 내부에서 최대 응력에 도달한 이후 응력의 감소와 함께 단층 파열 면의 변위도 점진적으로 증가하는 비선형 거동을 나타낸다. Ohnaka and Yamashita[1]는 화강암을 이용한 실내실험과 이론해석을 통 하여 다음과 같은 균열 선단 영역에서의 스케일링 모델을 제시하였다.

여기서, 균열 선단 영역에서의 응력 강하량 ∆σ_b는 σ_p - σ_r을 나타내고, 이 를 breakdown stress drop 또는 total stress drop이라고 한다. 그리고, X_c 는 최대 응력 σ_p로부터 ∆σ_b의 응력 저하가 발생했을 때의 균열 길이를 나타 내고, 균열 선단 영역의 크기 (breakdown zone size)라고 부른다. D_c는 균 열 길이 X_c에 상응하는 변위인 임계 미끄럼 거리 (critical breakdown slip 또는 slip-weakening distance)를 나타낸다. c_Γ는 σ_p와 σ₀의 비에 따라 변 하는 계수로, 그 변화가 크지 않아 약 1/3의 값을 사용한다. 그리고, C(k_V)는 전단파괴 형식 (in-plane mode (II), anti-plane mode (III))에 따라 단층 파 열속도 V_r에 의해 결정되는 속도계수로 다음 식으로부터 얻을 수 있다. 단, Poisson 비는 EBM과 마찬가지로 1/4을 가정하였다.

여기서, 전단파괴 형식별 속도계수 C_II(k_V)와 C_III(k_V)는 다음 식으로 정의 된다.

그리고, k_V는 f_max/f_c (= k_f)와 근사적으로 다음의 관계를 갖는다[3].

한편, ∆σ_b는 단층의 파괴 핵 형성과정과 일정한 속도로 단층 파열 면이 확장되는 과정 (dynamic rupture propagation phase)의 구동력 (driving stress)라고 볼 수 있으므로, 단층 파열 면 전체에 대해 다음과 같이 쓸 수 있 고, 본 논문에서는 이를 ESWM이라 부르기로 한다.

위 식에서 D_s와 r_s는 각각 단층 파열 면에 대한 평균 변위와 단층의 반경을 나타낸다. 그리고 C_s는 단층 파열속도에 의존하는 계수로, 다음 식으로 평 가한다.

여기서, g^c(k_V)는 LEFM 이론을 이용한 Fossum and Freund[16], Kostrov [17]와 Eshelby[18]의 단층파괴 에너지 (fracture energy)에 관한 연구결 과에서 전단파괴 형식에 따른 차이가 작은 점을 고려하여 다음과 같이 정의 한다.

그리고, f_max에 의해 지진동 스펙트럼의 진동수 대역이 제한되는 경우, 지진 파의 방사 효율 η_R은 다음 식으로 나타낼 수 있다.

Fig. 2에 f_max→ ∞의 경우와 f_max가 유한한 경우의 η_R을 비교해 나타 낸다.

다음으로 동적 유사성을 나타내는 무차원수 k는 속도에 대한 무차원수 k_V와 시간에 대한 무차원수 k_T에 의해 다음의 관계를 갖는다.

여기서, 시간에 대한 무차원수 k_T는 진원에서의 계속 시간 (source duration) T_r과 T_c(= 1/f_c)의 비를 나타내고 다음의 관계를 만족한다.

그리고, k_T는 Brune의 ω² 모델과 단층의 파열이 진행되는 동안 파열속 도가 거의 일정하다고 가정할 경우 다음 식으로부터 평가할 수 있다.

식 (17)은 k_f ≥3의 경우 2/π와 거의 같은데, 이는 진원에서의 계속 시간 이 단층 파열 면의 최대 미끄럼 속도 (V_peak)의 50%의 속도로 최종 변위가 발생할 때까지 걸리는 시간과 같음을 의미한다.

식 (5)~식 (17)에서 알 수 있듯이 ESWM은 진원에서의 지진동의 스펙 트럼에 관한 진동수특성을 나타내는 f_c와 f_max를 알면 단층의 파열속도를 알 수 있고, 이를 이용하여 정적 동적 진원변수 및 변수 사이의 스케일링 관 계가 결정됨을 나타낸다. 예를 들어 진동수 영역에서 진원의 모멘트 방출속 도 (moment-rate function) M ˙(f)는 Brune의 ω² 모델과, f_max에 의한 고진 동수 영역의 차단 필터로 2γ-pole의 Butterworth 필터를 가정할 경우 다음 식으로 나타낼 수 있다[24, 32].

식 (18)은 시간 영역에서 모멘트 방출속도 M ˙(t)와 미끄럼 변위 D(t)와의 사이에 다음의 관계가 성립함을 의미한다[34].

여기서, U(t)는 미끄럼 속도함수 (slip-rate function)에 해당한다. 식 (18) 에서 알 수 있듯이 M ˙ ( 0 ) = M o 의 관계가 있으므로, 진원에서의 진폭스펙트 럼은 진원변수와 관련한 모든 정보를 포함하고 있음을 알 수 있다.

2.3 EBM과 ESWM의 이론적 관계

식 (9)에 식 (15)를 대입하면 식 (9)는 다음과 같이 식 (2)와 같은 형식으 로 나타낼 수 있다.

그리고, 식 (4)와 식 (20)과 함께 k_T≃2/π를 가정하면 다음과 같이 응력 강하량 Δ σ e B와 ∆σ_b의 관계를 얻게 된다.

한편, 각 모델의 단층 반경과 평균 변위의 비에 대해서는 식 (21)을 이용 하여 식 (1)과 식 (9)로부터 다음의 관계를 얻는다.

식 (22)에 Brune의 무차원수 k = 0.372를 대입하면 ∈_e/∈_s = 1의 관계를 얻는다. 이는 무차원수 k가 같다면 단층의 반경과 평균 변위의 비가 같음을 의미하고, 동적 유사성에 관한 식 (3)과 식 (15)가 r_e = r_s를 의미하므로 D_e = D_s가 된다. 그러나, 응력 강하량의 경우는 각 모델의 정의가 다르므로 무 차원수 k가 같더라도 반드시 같지 않다. 한편 C_s와 k_V의 관계는 식 (10)으 로부터 0.2≤k_V≤0.9에 대해 C_s≃14.0k_V^1.87로 근사할 수 있는데, 이를 식 (21)에 적용하면 응력 강하량 사이의 관계는 다음과 같이 쓸 수 있다.

따라서, k_V의 범위 0.2 ≤ k_V ≤ 0.9에 대해, Δ σ e B < Δ σ b < 12.6 σ e B 이 되어, 단층의 파열속도가 빠를수록 두 모델의 응력 강하량은 근접한다. 또 한, 식 (23)에 Brune의 무차원수 k = 0.372에 대해 k_T ≃ 2/π를 가정할 경우 의 k_V = 0.584를 대입하면 ∆σ_b≃3.75 Δ σ e B의 관계를 얻게 되고, EBM을 이 용한 기존의 연구에서 Δ σ e B 의 평균으로 흔히 가정하는 3 MPa[20]을 대입 하면 ∆σ_b는 11.2 MPa이 된다. 이러한 결과는 Abercrombie[35]가 Kaneko and Shearer[36]의 SWM을 가정한 원형 단층의 동적 파괴 시뮬레이션 (dynamic rupture simulation) 결과를 이용하여 지적한 것과 유사하다. 그 리고 식에서 알 수 있듯이 Δ σ e B가 지진의 크기에 상관없이 일정하다면, 즉 스케일 의존성이 없다면 ∆σ_b는 k_V와 부상관 관계를 갖는다. 하지만 Δ σ e B에 스케일 의존성이 있다면 두 변수 사이의 상관관계는 f_c-M_o 관계와 k_V-M_o 관계에 따라 바뀌게 되므로 일의적으로 결정되지 않는다.

만약, Madariaga의 무차원수 k = 0.21을 가정할 경우, ∆σ_b와 Δ σ e M의 관 계는 Δ σ e M≃5.56 Δ σ e B의 관계가 성립하므로 0.4Δ σ e M <∆σ_b <2.3Δ σ e M가 되어, Δ σ e M≃∆σ_b가 성립한다.

한편, Poliakov et al.[37]와 Rice et al.[38]은 SWM의 이론해석을 통 해 응력 강하량에 대한 다음의 관계식을 얻었다. 이 관계식은 in-plane mode (II)와 anti-plane mode (III)에 상관없이 같다.

위 식은 균열 선단 영역에서 응력이 σ_p에서 σ_r (일반적으로 0을 가정)까 지 선형으로 감소한다고 가정하여 얻은 결과인데, Hirano and Yamashita [39]는 지수함수로 감소한다고 가정하여 같은 결과를 얻었다.

식 (24)의 변수 θ의 인수 X_c/r_s (≤1)는 k f − 1 과 같고 k_f는 식 (8)에서 알 수 있듯이 k_V의 단조 증가함수이므로, 식 (24)는 k_V^-1의 단조 증가함수임을 알 수 있다. 여기서 기준 응력 (reference stress)로 σ_o를 사용하여 식 (9)의 스 케일링 관계를 고쳐 쓰면 다음과 같이 쓸 수 있다.

그리고 위 식을 식 (9) 또는 식 (20)과 비교하면 C_o는 다음의 관계로부터 얻을 수 있다.

Fig. 3에 식 (10)과 식 (24)로부터 얻은 k_V에 대한 C_o를 식 (10), 식 (23)~ (24)와 함께 나타냈다. 그림에서 알 수 있듯이 C_o는 0.2 ≤ k_V ≤ 0.9에 대해 약 0.2~0.5의 값을 갖게 되어, 식 (1)처럼 일정한 값 (약 0.4)을 갖는다고 볼 수 있다. 그러나 식 (1)의 계수 7π/16 ≃ 1.38과 비교하면 약 3.5배의 차이 가 있는데, 이러한 차이는 균열 선단 영역에서 응력과 변위와의 관계를 나타 내는 구성 관계가 서로 다르고, EBM의 응력 강하량에 대한 물리적 정의가 모호하기 때문이라고 생각된다. 한편, 중대형지진의 단층 파열속도로 알려 진 0.6 ≤ k_V ≤ 0.9에서는 (f_c/k)∝M_o^-1/3의 관계가 성립할 경우 C_o의 단층 파열속도 의존성에 의해 ∆σ_o는 Causse and Song[10]의 주장과 같이 단층 파열속도와 부상관 관계를 갖는다.

Fig. 3에 보인 것과 같이 Brune의 유효 응력과 균열 선단 영역에서의 응 력 강하량과의 비를 나타내는 식 (23)과 SWM에 대한 이론적인 관계를 나 타내는 식 (24)를 비교하면 k_V ≃ 0.4에 대해서는 같지만, 그 이외의 k_V에 대 해서는 전혀 다른 k_V에 대한 의존성을 보여준다. 이것은 Δ σ e B나 Δ σ e M이 단 층 주변의 응력 σ_o를 기준 응력으로 한 응력 강하량 ∆σ_o와 직접적인 관련성 이 없다는 것을 나타낸다.

아래에서는 문헌 조사를 통해 얻은 M_o, V_s, f_c, f_max를 이용해 응력 강하량 과 에너지 수지에 대해 검토하기로 한다.

3. 문헌 조사결과를 이용한 검토

3.1 사용 데이터 개요

검토에 사용한 데이터는 문헌 조사[24-32]를 통해 1987년부터 2016 년까지 일본열도의 내륙과 인근 해역의 판 경계 근처에서 발생한 총 335 개 지진에 대해 지표면에서의 기록, V_s = 500~700 m/s의 공학적 기반암 (engineering bedrock) 그리고 V_s≥2,000 m/s의 지진 기반암 (seismic 또 는 pre-Tertiary bedrock)에 위치한 borehole 가속도 기록 등을 함께 이용 한 통계적 스펙트럼 역 해석 (spectral inversion)의 결과 중, 진원 깊이 25 km 이하의 M_W 3.0~7.5인 113개 지진에 관한 결과이다.

이들 결과는 Boore[40]의 모델을 기본모델로 한 스펙트럼 역 해석을 통 해 얻은 것인데, 다만 연구자에 따라 고진동수 영역의 차단진동수 f_max를 위 한 high-cut filter 모델에서 스펙트럼의 감쇠 기울기 (falloff rate)를 나타 내는 파라미터 (식 (18)의 γ)에 대해 미리 정한 값을 사용한 경우와 변수로 취급하여 역 해석과정에서 추정한 경우로 나눌 수 있다. 스펙트럼의 감쇠 기 울기를 변수로 취급한 경우 지진 event에 따라 기울기가 다르지만, 평균적 으로 볼 때 γ ≃ 1~2의 값을 갖고, 미리 가정한 경우의 기울기 (γ = 2)와는 차 이가 있는데, γ는 f_max와 상충관계 (trade-off)가 예상되므로, 추정한 f_max 는 일정 수준의 불확실성을 포함하고 있다고 생각된다. 그러나, 식 (8)에서 알 수 있듯이 k_V는 log k_f의 단조증가함수이므로, f_max에 대한 이러한 불확 실성이 단층 파열속도의 추정에 큰 영향을 주지 않을 것으로 생각된다.

스펙트럼 역 해석의 기본모델은 다음과 같다. 진원으로부터 거리 R 떨어 진 공학적 기반암에서의 가속도 스펙트럼 A(f)는 공학적 기반암과 지진 기 반암 사이의 전달함수 특성을 나타내는 함수 Z(f)와 비탄성 감쇠 (anelastic attenuation)에 의한 경로효과를 나타내는 함수 P(f), 진원과정 (source 또 는 rupture process)의 특성을 나타내는 고진동수 영역의 차단진동수 f_max 에 의한 high-cut filter H_m(f), 그리고 Brune의 ω² 모델을 나타내는 함수 S(f)를 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 P_R은 수평 2방향 지진파에 의한 에너지 기여율을 나타내는 계수 (= 0.71), F_S는 자유표면에서의 증폭 계수 (= 2.0), R_θϕ는 평균 방사 계수 (= 0.63)를 나타낸다. 그리고, ρ는 진원에서의 재료 밀도, S(f)H_m(f)는 식 (18) 을 이용하여 (2πf)²M ˙(f)와 같다. 경로효과를 나타내는 P(f)는 감쇠 계수 (quality factor)의 진동수 의존특성을 고려하여 다음 식으로 나타낸다.

역 해석을 통해 얻는 것은 Z(f), γ, Q_o, n, f_c, f_max 그리고 중소규모 지진처 럼 M_o가 미지일 때는 M_o를 포함하며, 식 (18) 및 (27), (28)과 계측기록을 이용한 최소이승법을 통해 추정한다. 최소이승법의 적용에는 1개의 지진에 대해 다양한 진앙거리를 갖는 복수의 관측점 기록이 사용되었으며, 파동의 방사 각에 의한 영향 (directivity effect) 및 국지적인 영향 등은 이 방법으 로 평균화된다고 본다.

여기에서는 본 논문의 내용과 직접 관련 있는 M_o, V_s, f_c, f_max를 사용하였 고, 이들을 이용한 단층 파열속도와 단층 반경 (또는 단층면적)의 추정 결과 는 별도의 논문[3]을 통해 상세히 다루었으므로 여기에서 이와 관련한 자세 한 내용은 생략하고, 응력 강하량과 에너지 수지 특성, 그리고 스케일링 관 계에 대해서 검토하기로 한다.

3.2 응력 강하량의 스케일 의존성과 파열속도 의존성

Figs. 4~5에 M_o와 k_V에 대한 ∆σ_b를 각각 나타낸다. 그리고 Fig. 4에는 1971년~1997년의 기간 중 미국 서부지역에서 발생한 중대형지진에 대해 Abercrombie and Rice[8]가 얻은 Δ σ e M을 참고로 나타냈다. 그림에 알 수 있듯이 ∆σ_b는 약 1~100 MPa의 범위에 있으며 스케일 의존성을 고려하지 않는다면 약 10 MPa의 평균값을 갖는다. 한편 지진의 크기를 기준으로 볼 때, M_o = 10¹⁷~10¹⁸ Nm를 경계로 중소형지진과 중대형지진으로 분류한 다면, 중소형지진의 경우 대부분 1~10 MPa, 중대형지진의 경우 대부분 10~100 MPa을 보여 스케일 의존성이 있다. 그리고, 중소형지진의 경우 Causse and Song[10]이 주장한 것과 같이 M_o와 ∆σ_b사이에 부상관 관계가 있지만, 중대형지진의 경우에는 그와 같은 상관관계가 확인되지 않는다. 이 와 같은 상관관계는 진원 깊이 30 km 이상의 지진의 경우[13]와 달라, 상관 관계가 진원 깊이에 의존한다고 볼 수 있다.

한편 미국 서부지역에서 발생한 지진에 대한 Δ σ e M은 중대형지진의 경우 ∆σ_b보다 작고, 중소형지진의 경우에는 대체로 ∆σ_b보다 크게 나타나, 식 (23)과 상반되는 스케일 의존성을 보인다. 이러한 차이의 원인은 두 지역 에서 발생하는 지진의 진원특성과 단층면적의 추정 방법의 차이, 그리고 단층 파열속도의 영향이라고 생각할 수 있는데, 스케일 의존성을 무시하고 응력 강하량의 크기만을 놓고 본다면 앞에서 언급한 바와 같이 (Fig. 3 참조) Δ σ e M ≃ ∆σ_b라고 볼 수 있다.

이러한 결과는 기존연구에서 보여준 다양한 지진에 대한 Δ σ e B의 평가 결 과와 비교해 보면 더 확실히 알 수 있다. 예를 들어, Baltay et al.[14]에 의한 2004년 Chuetsu 지진 (M_W 6.6), 2007년 Chuetsu-oki 지진 (M_W 6.7), 그 리고 2008년 Iwate-Miyagi Nairiku 지진 (M_W 6.9) sequence의 Δ σ e B의 해 석 결과는 일부 극히 작은 값 (약 0.1 MPa)을 제외하면 1~60 MPa인데, 이 는 ∆σ_b와 유사한 결과이다. 그 외에도 Allmann and Shearer[41]의 세계 각 지역에서 발생한 M_W 5.2~8.3의 지진에 대한 Δ σ e M의 추정 결과 0.3~50 MPa, Oth et al.[42]의 일본열도에서 발생한 M_JMA (일본 기상청 규모) 2.7~8.0 규모의 지진에 대한 Δ σ e B 의 추정 결과 0.1~100 MPa 등도 ∆σ_b와 유사하다. 그러므로 Δ σ e B 또는 Δ σ e M은 스케일링 모델의 도출과정에서 가정 한 것처럼 ∆σ₀이 아니라, ∆σ_b에 해당한다고 보아야 할 것이다.

한편, σ_r = 0이라고 가정하면, ∆σ_b = σ_p라고 할 수 있다. 이 경우, 탄성 재 료에 대한 구성방정식으로부터 σ_p는 변형률 ∈_p와 σ_p =μ∈_p의 관계를 갖고, ∈_p가 재료에 따라 거의 일정하다고 볼 때, σ_p 역시 거의 일정한 값을 갖게 되므로, 결과적으로 ∆σ_b도 재료에 따라 거의 일정한 값을 갖는다. 기존연 구에서 결론이 나지 않은 Δ σ e B의 스케일 의존성 여부는 Δ σ e B가 ∆σ_b에 해 당한다고 생각할 때, 무차원수 k = 0.372가 ESWM에서 추정한 k의 범위 (0.15~0.54)[3]의 거의 중간값에 해당하므로 평균의 의미로 스케일 의존성 이 없다고 하여도 이상할 것이 없고, 어쩌면 당연한 결과라고 생각된다. 그 러나, Kanamori and Rivera[43]가 지적한 것처럼 응력 강하량 Δ σ e B 의 스 케일 독립성은 지진동 스펙트럼의 자기 유사성을 결정하지 않는다.

한편 단층 파열속도를 나타내는 무차원수 k_V에 대한 ∆σ_b의 변화는 내륙 지진의 경우 ∆σ_b가 k_V에 반비례하여 감소하는 경향이 있고, 중대형지진의 경우에는 거의 일정한 경향이 있어, 단층의 파열속도에 대한 의존성은 분명 하지 않지만, 전체적으로 볼 때 약 10 MPa의 값을 중심으로 중소형지진과 중대형지진의 ∆σ_b는 단층 파열속도가 증가할수록 큰 차이를 보인다. 이와 같은 경향을 종합해 보면 ∆σ_b는 M_o와 관련은 있지만, M_o만으로 스케일링 된다고 보기 어렵고, 단층 파열속도를 포함한 다른 스케일링 파라미터가 필 요하다.

Figs. 6~7에 M_o와 k_V에 대한 ∆σ₀를 각각 나타낸다. 우선 M_o에 대한 ∆σ₀ 의 변화 경향은 ∆σ_b의 경우보다 M_o와 부상관 관계를 갖는 것이 분명하게 나타나고, ∆σ_b의 경우와 달리 중대형지진에 대해서도 M_o와 부상관 관계를 갖는다. 이와 같은 경향은 k_V와 M_o와의 관계 (References [3], Fig. 10 참 조) 때문이다. 한편, k_V에 대한 ∆σ₀의 변화를 보면 k_V에 대해 반비례하는 경 향이 뚜렷하게 나타나고, 같은 k_V에 대해서는 M_o가 클수록 ∆σ₀가 크다. 이 런 k_V에 대한 ∆σ₀의 변화 경향은 Causse and Song[10]의 주장과 일치하 지만, 그들의 연구에서 사용한 응력 강하량은 Δ σ e B이므로 본 연구의 결과가 그들의 주장과 반드시 합치한다고는 할 수 없다.

3.3 실효 응력 σ_a와 ∆σ_b의 관계

실효 응력 σ_a (apparent stress)는 다음 식으로 정의한다.

여기서, 지진파 방사 에너지 E_R은 식 (14)를 이용하여 다음 식으로 구할 수 있다[3, 13].

한편, Kanamori and Rivera[43]는 E_R/M_o를 자기 유사성을 판단하기 위한 중요한 동적 변수 e ˜로 정의하고, 관측기록의 해석 결과와의 비교를 통 해 실효 응력이 지진의 크기에 의존하지 않고, f c ∝ M o − 1 / 3 의 관계가 성립하 더라도 이것이 응력 강하량의 스케일 독립성을 의미하지 않음을 지적하였 다. 이는 지진동의 방사 효율 η_R이 지진의 크기에 따라 다를 수 있음을 의미 하는데, EBM의 방사 효율 η_R은 지진의 크기에 상관없이 약 0.47이다.

실효 응력 σ_a과 ∆σ_b와의 관계는 지진동의 방사 효율 η_R을 이용하여 다 음과 같이 나타낼 수 있다[20].

Fig. 8에 실효 응력 σ_a과 ∆σ_b와의 관계를 나타낸다. 그리고 비교를 위해 η_R = 0.7, 0.2, 0.05를 함께 나타낸다. 그림에서 알 수 있듯이 대부분의 η_R 은 0.2~0.7의 값을 갖고, 0.05는 거의 최솟값에 해당한다. 이와 같은 결과 는 Baltay et al.[14]의 일본 Tohoku 지역에서 발생한 지진의 연구결과와 같은데, 그 들은 식 (30)을 이용하지 않고 계측된 지반 속도기록의 제곱에 대한 스펙트럼을 직접 적분하는 방법을 사용하였다. 한편, 식 (8), (13)~(14) 및 Fig. 2에서 알 수 있듯이 η_R은 k_V의 단조증가함수이므로 η_R이 약 0.05 에서 0.7까지 변화하는 것은, 앞에서 언급한 바와 같이 k_V와 k_f가 M_o에 비례 하기 때문이고, 이런 특성은 ∆σ_b가 k_V에 대해 명확한 의존성이 없으므로 실 효 응력 σ_a의 스케일 의존성을 나타낸다고 볼 수 있다.

한편, 그림에서 2000년 10월에 발생한 Tottori-ken Seibu 지진의 경우 다른 경우와 비교해 지진동의 방사 효율이 특히 낮은 것처럼 나타나 있는데 이는 References [3]의 Fig. 7과 Fig. 10에 보인 바와 같이 M_o ≤ 5×10¹⁵ Nm의 지진에 대한 f_max가 다른 지진에 비해 낮고 (4 Hz 이하), 이로 인해 단층 파열속도가 상대적으로 느린 것으로 평가되었기 때문이다. 그리고 한 가지 더 언급할 필요가 있는 것은 Tottori-ken Seibu 지진기록을 이용한 Satoh et al.[26]의 해석 결과 중, f_max가 불명확한 경우 (20 Hz 이상으로 추 정된 경우)는 사용하지 않았는데, 이 경우 단층 파열속도가 적어도 0.5 V_s 이상이 되므로, M_o≤5×10¹⁵ Nm의 지진에 대한 단층 파열속도의 변동성은 References [3]의 Fig. 10에 보인 Hida 산맥에서 발생한 빈발성 지진의 경 우와 유사할 것으로 생각된다.

Fig. 9에 e ˜와 M_o의 관계를 나타낸다. 그림에서 알 수 있듯이 e ˜는 스 케일 의존성이 있고, 그 경향은 기존연구에서 지적된 바와 같다. 따라서 Abercrombie[44]의 연구를 비롯한 많은 연구에서 지적된 e ˜의 스케일 의 존성은 Ide and Beroza[45]가 언급한 제한된 유효 진동수 대역이나 불충분 한 관측기록 (missing data)에 의한 것이 아니고, 서로 다른 단층 파열속도 와 밀접한 관련이 있는 지진동 스펙트럼의 국소유사성 (local similarity)에 그 원인이 있다고 하겠다[3, 21].

3.4 단층파괴에너지의 스케일 의존성

단층파괴에너지 (fracture energy) E_G는 단층파괴 시 응력의 변화와 변 위와의 관계를 나타내는 구성관계식을 τ_f(D)라고 할 때, 다음의 적분으로 정의된다[21], [37], [38].

식에서, D ˜ = D / D c 이고, D_c<D≤D_max인 경우, τ_f =σ_r인데, 일반적으 로 σ_r은 알 수 없으므로 0으로 가정한다. 그리고, τ_f를 지수함수로 나타내거 나 직선으로 선형화시키거나 결과에는 큰 차이가 없음이 알려져 있고, Ellsworth and Beroza[19]가 보인 바와 같이 응력이 최대 응력에 도달하기 이전의 지진에너지가 전체 에너지 비해 매우 작으므로, 식 (32)는 다음과 같 이 쓸 수 있다.

한편, 단위면적당 E_G를 에너지방출률이라 하고, 다음 식으로 정의한다.

이와는 별개로, 균열 선단 영역에서의 응력과 변위와의 관계를 생각하지 않고, 에너지 수지를 고려하여 지진파 방사 에너지 E_R을 이용한 다음 식으 로 정의하기도 한다[8].

위 식은 ∆σ_e ≃∆σ_b이고, D_c/D_e =1-η_R일 때, G c ≃ G c ′ 이 성립한다. 마지막 조건은 식 (32)의 τ_f 에 대해 선형 근사가 가능할 때 성립한다[3].

Abercrombie and Rice[8]는 북미지역에서 발생한 지진기록에 대해 위 식을 적용하였는데, 일부의 경우 η_R > 1이 되어, G_c′이 음수가 되는 경우가 있음을 지적하고, 이는 파괴의 정지단계 (rupture arrest phase)에서 최종 응력이 σ_r에 비해 커지는 undershoot에 의해 발생한다고 보았다. Beeler et al.[46]도 실제 지진에서 이런 경우가 발생할 수 있음을 지적하였고, Venkataraman and Kanamori[47]는 undershoot일 때 η_R > 1이 될 수 있 음을 이론적으로 보였지만, 실제 지진에서 undershoot 응력이 구체적으로 평가된 적은 없다. 한편, 필자의 최근 논문[3]에서 보인 바와 같이 응력 강 하량의 정의가 모호한 경우에도 같은 결과가 나타날 수 있는데, 특히 E_R이 과대평가되고, ∆σ_e가 과소평가되면 η_R > 1이 될 수 있다. Abercrombie and Rice[8]의 결과 중, Δ σ e M을 사용한 경우에 비해 Δ σ e B를 사용한 경우 G_c′이 음수가 되는 경우가 많은 것은 이와 무관하지 않다고 생각된다.

한편, Abercrombie and Rice[8]는 북미지역에서 발생한 지진기록에 대해 Madariaga의 무차원수 (k = 0.21)을 적용한 결과와 Brune의 무차원 수 (k = 0.372)을 적용한 결과 중, η_R > 1인 경우를 제외하고 각각에 대해 다 음과 같은 G_c′과 D_e의 관계를 얻었다.

위의 두 식을 본 연구에서 얻은 결과 (G_c와 D_s의 관계)와 비교하여 Fig. 10에 나타낸다. 그림에서 알 수 있듯이 식 (36a)보다는 식 (37a)가 본 연구 에서 얻은 결과와 잘 대응하는데, 이것은 Brune의 무차원수 k가 본 연구 에서 얻은 k 값의 중앙값에 해당하고[3], 3.2절에서 언급한 것과 같이 ∆σ_e ≃∆σ_b가 성립함을 보인 결과라 생각된다.

Fig. 11에 본 연구에서 얻은 G_c와 D_c의 관계를 Ellsworth and Beroza [19]가 파괴 핵 형성과정에 관한 연구에서 30개 지진에 대해 얻은 결과와 Ohnaka[21]의 화강암을 이용한 stick-slip에 관한 실내실험결과와 함께 나 타낸다. 그리고, 식 (36a)과 식 (37a)에 적당한 η_R을 가정한 다음의 관계식 을 함께 나타낸다.

Madariaga의 무차원수를 사용한 식 (36b)는 η_R ≃0.48 (k_V≃0.61, k ≃0.39)에 해당하고, Brune의 무차원수를 사용한 식 (37b)는 η_R ≃0.59 (k_V≃0.72, k≃0.46)에 해당하는데, 이들 모두는 Fig. 8과 비교할 때 합리 적인 값들이라고 생각된다. 그리고, 식 (37b)의 k_V≃0.72는 Geller[48]가 제시한 중대형지진의 평균적인 단층 파열속도 (0.72V_s)와 같다.

그림에서 알 수 있듯이 본 연구에서 얻은 결과는 Ellsworth and Beroza [19]의 결과와 큰 차이가 없어, 본 연구에서 제시한 단층의 파열속도에 의한 방법이 적절한 것임을 보여준다고 생각된다. 그리고, Abercrombie and Rice[8]가 제시한 두 가지 모델의 적절성은 실제 지진의 결과 만을 놓고 본 다면 식 (36b)나 식 (37b)나 큰 차이가 없어 보이지만, Ohnaka[21]의 stickslip에 관한 실내실험결과를 포함한 경우 식 (37b)가 에너지방출률 G_c의 스케일링 특성을 일관성 있게 보여주므로 더 적합하다고 생각된다.

한편, Bizzarri[49]가 기존의 이론 연구와 관련하여 자세히 다루었듯이, G_c는 D_c 이외에 ∆σ_o에 의해서도 스케일링이 되는데, ∆σ_o는 ∆σ_b와 식 (24) 의 관계에 있으므로, 결과적으로 G_c는 ∆σ_b에 의해 스케일링 되고, Ohnaka [21]는 실내실험결과를 이용해 G c ∝ Δ σ b 1.83 의 관계가 있음을 보였다. Fig. 12에 본 연구에서 얻은 G_c와 ∆σ_b의 관계를 Ohnaka가 얻은 관계와 비교하 여 나타낸다. 그림에서 알 수 있듯이 중소형지진과 중대형지진에 대한 ∆σ_b 의 차이에 의해 G_c와 ∆σ_b의 관계에도 차이가 나타나고, ∆σ_b의 멱수 역시 1.833보다 약간 큰 값이 적절해 보인다. 이에 대해서는 다음의 임계 미끄 럼 거리 D_c의 스케일링 변수에 관한 검토를 통해 조금 더 자세히 살펴볼 수 있다.

3.5 임계 미끄럼 거리 D_c의 스케일링 변수

Ohnaka[21]는 D_c를 단층 파열 면의 거칠기를 나타내는 파장 λ_c로 기준 화시켰을 때 그 값이 다음에 나타내는 것과 같이 ∆σ_b/σ_p와 일정한 관계를 갖게 되는 것을 보였다. λ_c는 파괴면의 거칠기를 profilometer를 이용하여 계측한 후 그 결과의 스펙트럼 분석에서 나타나는 임계 파장 (critical wavelength) 을 말한다.

여기서, 변수 β와 M은 화강암을 대상으로 한 실내실험을 통해 얻었는데, 각 변수의 평균±표준편차는 β = 1.64 ± 0.29, M = 1.20 ± 0.06이다. 한편 식 (38)의 역함수를 m-함수라 하고, 다음 식으로 나타낼 수 있다.

이 들 식은 전단 파괴된 면은 암석의 불균일한 재료특성으로 인해 불규 칙한 거칠기를 나타내게 되는데, 이러한 거칠기는 단층의 파열 과정에서 끊 임없이 미끄럼 거리에 영향을 미치게 되므로, 임계 미끄럼 거리 D_c는 파열 면의 거칠기를 나타내는 값 중 대표적인 값인 λ_c와 밀접한 관련이 있고, 이 러한 관련성이 파괴 시 응력의 변화에도 영향을 미치게 됨을 의미한다.

한편, 식 (39)에 탄성 재료에 대한 구성방정식 σ_p =μ∈_p를 대입하면 다음 의 식을 얻는다.

그리고 식 (5)에도 σ_p =μ∈_p를 대입하면 다음 식을 얻는다.

Fig. 13에 문헌에서 제시한 전단탄성계수의 평균값 μ = 36 GPa, ε_p = 0.001을 가정했을 때 식 (40)과 식 (41)에서 얻어지는 ∆σ_b에 대한 D_c/λ_c와 D_c/λ_c ′을 비교하여 보인다. 단, 식 (40)은 결과에 3을 곱한 값을 나타내었 고, 식 (41)에 대한 근사 식으로 다음 식을 같이 보였다.

그림에서 알 수 있듯이 식 (42)는 본 연구에서 얻은 결과를 잘 나타내고 있고, 식 (40)과 식 (42)를 비교하면 λ_c/λ_c ′은 약 1.8~3.8의 값을 보여, λ_c는 X_c와의 사이에 λ_c/X_c≃2.8×10^-3의 관계가 성립함을 알 수 있는데, 이는 Ohnaka[21]가 추정한 것과 유사하다. 한편 식 (41)의 관계는 본 연구에서 밝힌 바와 같이 단층의 파열속도와 f_max에 의해 결정되므로 λ_c역시 단층과 관련한 같은 요소들에 의해서 결정된다고 볼 수 있는데, 이는 Fineberg and Marder[50]가 다양한 재료를 이용한 stick-slip 실험과 수치해석을 이용한 기존연구의 개관에서 주장한 균열의 micro- branching 과정과 파열속도와 의 관계와 같은 내용이라고 할 수 있다. 다만 여기서 한가지 언급할 필요가 있는 것은 본 논문에서 다룬 모든 스케일링 관계는 그 유도과정에서 단층의 비탄성 거동에 의한 파열과 미끄럼 변위를 탄성파동의 발생원으로 다루고 있어, 두 역학적 과정의 연결 역할을 하는 shear band의 거동이 생략되어 있 다는 것이다. 위에서 가정한 σ_p =μ∈_p는 shear band의 두께가 0에 가까운 이상적인 선형탄성체의 취성파괴를 제외하고 일반적으로 성립하지 않으 며, σ_p와 ∈_p는 변형 속도 및 진원의 깊이에 따라 변화하는 여러 가지 환경변 수의 영향을 받는 것으로 알려져 있다[51, 52].

3.6 에너지 유입량과 ∆σ_b, e ˜ 및 V_peak의 스케일링

우선 단층파괴 방향을 x, 균열 선단 영역의 표면적을 S^p, 그리고 표면에 대해 영역의 외부를 향하는 법선 벡터를 +n_j라고 하자. 그리고 균열 선단 영 역을 둘러싼 외부는 탄성 상태를 유지하고, 균열 면에서의 응력은 0이라고 가정한다. 이때 균열이 어는 정도 일정한 속도 V_r로 균열이 없는 상태의 탄 성체 내부로 확장될 때, 균열 선단 영역의 표면적 S^p을 통해 외부로부터 균 열 선단 영역 내부에 단위시간 당 유입되는 에너지는 다음의 에너지 유입량 (energy flux) F로 정의된다[20], [22], [23].

식 (43)의 첫 번째 식의 우변 1항은 균열 선단 영역 외부에 축적된 탄성 변형에너지에 의해 단위시간 당 균열 선단 영역의 내부로 행해지는 일을 나 타내고, 균열 선단 영역의 표면에 작용하는 응력과 재료 입자의 운동속도의 곱으로 나타낸다. 그리고 두 번째 항은 균열이 탄성체 내부에서 속도 V_r로 확장될 때 재료 입자의 탄성 변형에너지와 운동에너지의 합을 나타낸다. 위 식은 균열이 속도 V_r로 확장되기 위해서는 단위시간 당 식 (43)의 에너지가 균열 선단 영역에 공급되어야 함을 나타낸다. 한편, 식 (43)의 두 번째 관계 식에서 V_r = k_VV_s 이고, 본 논문에서 인용한 데이터의 V_s가 거의 같으므로, 여기에서는 F 대신에 F′ = F/V_s = G_ck_V를 사용하도록 한다

에너지 유입량은 단층의 파괴 핵 형성 이후 단층의 본격적인 동적 파괴 를 위해 단위시간 당 필요한 에너지이므로, 균열 선단 영역에서의 ∆σ_b, D_c, 그리고 X_c가 발생하면서 본격적으로 방출되는 지진파 방사 에너지 E_R과 밀 접한 관련이 있다. 그리고 지진동의 강약을 가늠할 수 있는 단층 면의 최대 미끄럼 속도 V_peak는 근사적으로 다음 식에 의해 나타낼 수 있으므로[1], [11], [15], [48], 이것 역시 에너지 유입량과 밀접한 관련이 있다.

Fig. 14에 M_o와 F′의 관계를 보인다. 그림에서 알 수 있듯이, M_o = 10¹⁷~ 10¹⁸ Nm (M_W5.3~6.0)을 경계로 두 부류로 나눌 수 있는데, 이 경계를 기준 으로 중대형지진과 중소형지진을 구분한다면, 중대형지진과 중소형지진 의 F′은 평균 약 100배의 차이가 있고, 각각의 구분 내에서 F′은 거의 일정 하다고 볼 수 있다. 그러므로 중소형지진과 중대형지진 사이에는 에너지 유 입량에서 근본적인 차이가 있다고 할 수 있다. 이와 같은 경향은 Fig. 4에 나 타낸 M_o와 ∆σ_b의 관계와 매우 유사하여, ∆σ_b가 F′과 밀접한 연관성이 있 음을 알 수 있다.

Figs. 15~17에 F′와 ∆σ_b, F′와 e ˜(=E_R/M_o), 그리고 F′와 V_peak의 관 계를 각각 나타낸다. 그림에서 알 수 있듯이 ∆σ_b, e ˜ 그리고 V_peak는 F′와 거 의 비슷한 관계를 갖고, 이들 관계는 다음과 같이 요약할 수 있다.

식 (45)의 관계에서, ∆σ_b와 e ˜및 V_peak는 대략 F^1/2에 비례하는 것으로 볼 수 있는데, 균열 선단 영역에 투입되는 에너지는 일종의 운동에너지이므 로, 이들 진원변수는 운동속도에 비례한다고 볼 수 있다. 그리고, Figs. 16~17에서 Tottori-ken Seibu 지진의 F′에 대한 e ˜와 V_peak가 다른 지진과 비교해 작게 나타났는데, 이는 Fig. 8과 관련하여 이미 언급한 바와 같이 f_max가 다른 지진과 비교해 특히 낮고, 이로 인해 k_V가 작게 평가되었기 때문 이다.

4. 결 론

본 논문에서는 필자의 최근 논문에서 보인 확장된 slip-weakening (friction) 모델 (ESWM)과 지금까지 일반적으로 사용된 Eshelby와 Keylis- Borok에 의한 스케일링 관계에 Brune과 Madariaga의 코너 진동수에 대 한 무차원수를 고려한 모델 (EBM)을 이용하여 응력 강하량의 이론적 관계 를 고찰한 결과, Madariaga에 의한 무차원수를 적용한 경우의 응력 강하량 은 지금까지 일반적으로 생각해온 초기 응력 σ_o와 단층 파열 면의 잔류응력 σ_r의 차를 나타내는 정적 응력 강하량 ∆σ_o라기보다는 ESWM에서 정의 한 최대 응력 σ_p과 잔류응력 σ_r의 차를 나타내는 ∆σ_b로 생각하는 것이 합 리적이라는 결론을 얻었다. 또한, 가장 일반적으로 사용되는 모델이라고 할 수 있는 Brune의 무차원수를 이용한 모델 (EBM)의 경우, 응력 강하량이 ∆σ_o로 보기에는 slip-weakening 모델에 대해 이론적으로 얻어진 ∆σ_o와 큰 차이를 보여, Madariaga와 Brune의 무차원수를 이용한 응력 강하량은 서로 약 5.6배의 차이가 있지만, 응력 강하량이 갖는 변동성을 고려할 때 모 두 ∆σ_b에 해당한다고 생각된다. 이와 같은 결과는 문헌 조사를 통해 얻은 1987년부터 2016년까지 일본열도에서 발생한 진원 깊이 25 km 이하의 M_W 3.0~7.5인 113개 지진에 대한 spectral inversion 결과 중, M_o, V_s, f_c, f_max를 이용해 ESWM으로 얻은 결과와 기존연구에서 EBM을 이용해 추정 한 결과의 비교를 통해서도 확인하였다.

한편, ∆σ_b의 스케일 의존성도 확인하였는데, M_o = 10¹⁷~10¹⁸ Nm를 중 소형지진과 중대형지진을 구분하는 경계 규모라고 할 때, 중소형지진의 경 우 약 1~10 MPa, 중대형지진의 경우 약 10~100 MPa의 응력 강하량을 보 였다. 그리고 Causse and Song이 주장한 응력 강하량과 단층의 파열속도 사이의 부상관 관계는 ∆σ_b의 경우 f_c/k의 스케일 특성, 즉 M_o에 대한 상관 관계에 따라 제한적으로 부상관 관계가 있을 수 있고, ∆σ_o에 대해서는 단층 파열속도의 스케일 의존성으로 인해 부상관 관계를 갖는 것을 확인하였다.

ESWM으로 얻은 응력 강하량과 실효 응력, 그리고 지진파 방사 에너지 로부터 정의되는 지진파 방사 효율 등을 검토한 결과, 실효 응력과 Kanamori and Rivera가 제안한 동적 진원변수 e ˜에 대해서는 스케일 의존성이 있음 을 확인하였는데, 이는 스케일 의존성이 Ide and Beroza에 의한 연구 등에 서 지적된 것처럼 기록의 유효 진동수 영역이나 데이터 부족에 의한 것이 아 니라, 지진동 스펙트럼의 국소유사성에 그 원인이 있음을 의미한다. 그리 고, 본 논문에서 보인 e ˜의 스케일 의존성은 Kanamori and Rivera가 인용 한 기존연구 결과와 유사하다. 한편 지진파 방사 효율은 단층의 파열속도에 따라 약 0.05~0.70의 범위에 분포하고, 이 결과는 과거 Baltay et al.이 일본 의 Tohoku 지역에서 발생한 지진을 대상으로 한 검토 결과와 일치함을 확 인하였는데, Baltay et al.의 결과는 제곱한 지반속도의 스펙트럼 적분을 통 해 얻은 것이다.

단위면적당 파괴 에너지로 정의되는 에너지방출률 G_c를 ESWM을 이 용해 검토한 결과, G_c의 스케일 의존성은 기존연구에서 보인 바와 같이 단 층 면적에 대한 평균 변위 D_s와 임계 미끄럼 거리 D_c, 그리고 응력 강하량 ∆σ_b를 스케일링 변수로 사용할 수 있는데, D_s를 이용할 경우 Abercrombie and Rice가 제시한 모델과 잘 일치하는 결과를 보였고, D_c를 사용한 경우에 는 D_s에 대한 두 가지 모델에 적당한 지진파 방사 효율을 가정한 결과 중, Brune의 무차원수를 적용한 것이 Ohnaka의 실내실험결과와 Ellsworth and Beroza의 파괴 핵 형성에 관한 연구결과 및 본 논문에서 얻은 결과와 잘 대응하는 것으로 나타났다. 그리고, ∆σ_b를 이용한 결과는 Ohnaka가 실 내실험을 통해 제시한 관계와 비교적 잘 일치하였는데, 이는 Ohnaka가 제 시한 G_c의 스케일링 변수 중 파열 면의 거칠기를 나타내는 변수가 실질적 으로는 단층의 파열속도에 의해서 결정되기 때문이고, 이와 같은 관계는 Fineberg and Marder가 기존의 stick-slip에 관한 실내실험과 수치해석을 이용한 연구의 개관에서 언급한 균열의 micro-branching 과정과 파열속도 와의 관계와 같은 속성임을 지적하였다.

ESWM을 이용해 단위시간 당 균열 선단 영역에 공급되는 에너지를 나 타내는 에너지 유입량과 ∆σ_b, e ˜ , 그리고 단층의 최대 미끄럼 속도 V_peak의 관계에 대해 검토한 결과 이들 세 가지 진원변수는 모두 에너지 유입량과 비 슷한 관계를 갖는 것을 보였는데, 이는 단층의 파괴 핵 형성과정에 대해 Ellsworth and Beroza가 제안한 모델과 같이 에너지 유입량에 의해 단층 의 파괴 에너지가 단파장 성분부터 cascade-up 과정을 통해 장파장 성분으 로 전달됨을 나타낸다고 볼 수 있다. 한편 에너지 유입량의 스케일 의존성은 분명하지 않은데, M_o = 10¹⁷~10¹⁸ Nm을 경계로 중소형지진과 중대형지진 을 나눈다면, 각 분류의 에너지 유입량은 거의 일정하게 나타났지만, 두 분 류 사이에는 약 100배의 차이가 있었고, 진원 깊이에 따라서도 변화하는 경 향이 있다. 이와 같은 에너지 유입량의 스케일 의존성과 진원 깊이의 영향에 대해서는 향후 자세한 추가 검토가 필요하다.

본 논문에서 보인 것과 같이 ESWM은 기존 모델과 달리 단층 파열속도 의 스케일 의존성을 고려한 것으로, M_o, V_s, f_c, f_max의 4가지 값이 필요한데, 진원에서의 V_s는 거의 같다고 볼 수 있으므로 실제로는 M_o, f_c, f_max의 3가지 파라미터가 필요하고, 이들 파라미터는 모두 진원 스펙트럼을 통해 알 수 있 다. 제안 모델을 이용해 얻은 정적 동적 진원변수는 기존 스케일링 모델과 kinematic inversion 등 다양한 방법론을 이용해 얻은 것들과 비교해 거의 같은 것으로 나타났다. 이와 같은 비교 결과는 ESWM이 M_o, f_c, f_max의 3가 지 파라미터를 통해 일관된 방법으로 진원변수에 관한 정보를 제공해줄 수 있음을 의미하고, 지금까지 고려하지 않았던 단층 파열속도의 영향을 직접 고려할 수 있으므로, 에너지 유입량과 같이 새로운 관점에서 진원변수를 볼 수 있다는 이점을 제공한다.