1. 서 론

2016년 건축구조기준이 개정되면서 성능기반 내진설계 및 내진성능평 가가 시행되었다[1]. 성능기반 내진설계는 그 방법에 따라 크게 3가지로 분 류되며, 가장 자세한 방법의 경우 구조물의 내진성능을 평가하기 위해 수평 2방향 지진동을 구조물의 비탄성 동적모델에 입력하여 구조물이 설계기준 에서 정한 요구 성능을 만족하는지를 확인하도록 하고 있다. 이때 수평 2방 향 지진동은 과거에 발생한 지진동 기록을 설계스펙트럼에 맞도록 보정하 여 사용하는 방법과 다양한 시뮬레이션 기법으로 작성된 인공지진동을 사 용하여 설정할 수 있는데, 각각의 방법은 상호 보완관계에 있다고 볼 수 있 다. 지진동 기록을 선정하기 위한 구체적인 조건이 있는 경우에는 데이터베 이스로부터 조건에 맞는 기록을 도출하여 사용하므로 주어진 조건의 적정 성에 대한 기술적 사회적 합의만 있으면 절차상 문제가 없다고 판단된다. 그 러나 지진이라는 자연현상이 확률론적인 관점에서 볼 때 시간과 진동수 두 영역에서 비정상성을 갖고 있고, 발생지역의 특성에 따라 그 특성이 다양하 게 표출되므로 데이터베이스에서 기록을 선정하는 데에는 이러한 지역적 특징을 고려하여 선정할 필요가 있는데, 현재 사용되고 있는 데이터베이스 가 모든 특징에 대응할 정도로 다양성을 확보하고 있는가에 대해서는 이론 의 여지가 있다. 한편 시뮬레이션 기법으로 작성된 인공지진동을 이용하는 방법은 진원의 물리적 특성과 지진동의 전파경로에 의한 영향 등을 고려한 수학적 모델 (Ground Motion Prediction Equations, GMPEs)을 통해 지 진동을 추정하여 데이터베이스의 다양성에 대한 문제점을 보완 할 수 있는 방법이다 (예를 들어 SMSIM[2], EXSIM[3] 등).

이들 두 가지 방법에서 필요로 하는 조건은, GMPEs의 경우가 데이터베 이스를 이용하는 경우보다 다양한 변수에 관한 정보를 요구하지만, 기본적 인 사항은 같다고 할 수 있다[4]. 가장 기본적인 사항은 지진의 규모와 진원 으로부터 대상 부지까지의 거리, 그리고 지반 표층의 증폭효과 (부지효과) 를 고려하기 위한 지층의 구성정보 (또는 전단파 속도 )이며, 추가로 지진동 의 계속시간, 단층파괴형식 및 진원의 지리적 특성을 반영하기 위한 다양한 조건을 고려하기도 한다. 이 중에서 지진동의 계속시간은 평가지표의 다양 성만큼이나 중요성에 대한 논란이 끊이지 않고 있는 변수인데, 파괴단층면 의 크기와 진원으로부터 관측점까지의 거리에 의해 어느 정도 예측 가능한 것으로 알려져 기본조건인 지진의 규모와 진원으로부터의 거리를 고려하 면 고려가 되는 변수로 볼 수도 있다. 한편 내진설계의 관점에서는 성능지표 를 무엇으로 하는가에 따라 지진동 계속시간의 중요성이 바뀌게 되는데, 구 조물의 최대응답을 성능지표로 할 경우, 지진동의 계속시간은 거의 영향이 없지만, 최대응답이 아닌 구조물의 누적 소성 에너지를 성능지표로 사용할 경우, 성능지표와 밀접한 관계가 있는 것으로 알려져 있으며 그 정도는 지진 중에 구조물에 발생하는 강성저하와 같은 이력특성에 따라 바뀌게 된다[5, 6]. 이에 Malhotra[7]는 지진동 기록의 선정에 있어서 스펙트럼의 형상과 함께 지진동의 계속시간을 고려할 것을 제안하였으며, 미국토목학회의 ASCE/SEI 4-16[8]에서는 대상 부지의 지진위험도에 적합한 지진동의 계 속시간을 고려하여 지진동 기록을 선정할 것을 권고하고 있다.

한편 시뮬레이션 기법을 이용하여 인공지진동을 작성할 경우, 지진동 의 비정상성을 재현하기 위해 푸리에 진폭스펙트럼(Fourier amplitude spectrum, FAS)과 함께 위상 스펙트럼 (phase spectrum)의 특성을 재현하 는 것이 중요한데, 푸리에 진폭스펙트럼은 목표스펙트럼으로 주어지거나 진원 스펙트럼에 대한 이론모델과 경험적으로 얻은 진원 파라미터 (source parameter)를 사용하여 나타낼 수 있으므로 기술적인 어려움이 없지만, 위 상 스펙트럼의 경우 그 특징이 구체적으로 알려지지 않아 시뮬레이션에서는 진폭의 시간에 대한 비정상성을 나타내는 포락 함수 (envelope function)를 가정하는 것이 가장 간단한 방법이다. 포락 함수가 주어진 경우, 위상각은 (0, 2π)의 uniform 난수로 가정하는 것이 일반적인 방법인데[9] 이 경우 시 간 영역에서의 진폭의 비정상성은 재현되지만, 진동수 영역에서의 비정상 성은 고려되지 않아 구조물의 비탄성 응답해석결과에서 기록 지진동과 비 교해 중요한 차이가 나타나는 것으로 알려져 있다[10, 11]. 이러한 문제를 개선하기 위해 기록 지진동의 위상 스펙트럼을 사용하는 경우가 있는데, 이 경우는 데이터베이스의 다양성 문제와 같은 문제를 갖게 된다.

본 논문에서는 지진동의 위상특성과 비정상성과의 관계를 이론적으로 고찰하고, 기록 지진동의 해석을 통해 지진동의 위상특성과 계속시간 및 최 대 지반가속도 (Peak Ground Acceleration, PGA)와의 관계를 파악하였 다. 또한, 위상차의 진동수 대역별 분산특성에 대한 간단한 모델을 제시하 고, 이 모델을 통해 포락 함수의 가정 없이 지진동의 수평 2방향 지반가속도 의 비정상성을 재현하고 계속시간을 조절할 수 있는 방법을 제시하였다.

2. 위상특성에 관한 기본이론의 고찰

2.1 푸리에 진폭스펙트럼과 위상 스펙트럼

지진동의 위상특성을 파악하기 위해서는 우선 위상이 갖는 의미를 명확 하게 해둘 필요가 있다. 이에 여기에서는 지진에 의한 구조물 손상에 가장 큰 영향을 주는 원거리장 S파의 지반 변위에 대한 단층면의 전단파괴이론 모델을 이용하여 위상의 의미를 정리하고자 한다. 본 논문에서 진동수는 기 본적으로 단위 rad/sec의 원진동수 ω를 지칭하지만, 단위 Hz (=1/sec)의 실 진동수 f 를 나타낼 때에는 단위를 표시하여 구분하기로 한다.

우선 임의의 실수 함수 f(t)의 푸리에변환 및 역변환을 다음과 같이 정의 한다.

여기서, j = − 1 이다. 한 가지 주의할 점은 푸리에변환의 지수함수의 복 소수 부호이다. 복소수의 부호는 경우에따라 다르게 정의되는데, 예를 들어 임의의 확률밀도함수와 특성함수와의 관계는 푸리에변환 및 역변환의 복 소수 부호를 바꾸어 정의하고[12], 신호해석에서 신호를 시간-진동수 영역 이 아닌 파수(wavenumber)-거리 영역의 함수로 나타낼 때에도 복소수 부 호를 바꾸어 정의하기도 한다[13]. 여기에서는 식 (1)의 정의에 따른다.

유한진원 (finite source)의 단층면적을 Σ라하고, 단층 원점으로부터 단 층면 내의 임의의 위치를 벡터 ξ, 관측점의 위치벡터를 x라 하면, 관측점에 서의 원거리장 S파 지반변위의 시간 함수 u(x,t)는 다음 식으로 나타낼 수 있다[13-15].

여기서, R^FS는 지진에너지의 방사특성을 나타내는 계수이고, ρ는 지반의 밀도, β는 단층 주변의 S파 속도, r₀는 관측점까지의 거리 | x |를 나타내고, 1/r₀을 기하감쇄 (geometrical attenuation) 라고 부른다. 그리고 μ는 단층 의 강성을 나타내고, D₀는 단층파괴로 인한 단층면의 최종 상대변위, D ˙는 지진에너지의 방출속도를 나타내는 진원시간함수 (source time function, STF)를 나타낸다. 또한 t_ξ는 단층면 내의 위치 ξ가 파괴되는데 걸리는 시간, t | x − ξ |는 단층파괴로 인한 파동이 관측점에 도달하는데 걸리는 시간을 나 타낸다. 따라서 함수 D ˙의 인수는 단층의 각 부위의 파괴로 발생하는 파동의 중첩특성과 전달경로의 시간 지연특성을 포함한 위상정보를 나타내고, 항 상 0보다 커야 한다.

식 (1)을 적분의 순서를 바꿔 진동수 영역으로 푸리에변환을 먼저 하면 다음과 같은 원거리장 S파의 지반변위에 대한 진동수 함수를 얻을 수 있다.

여기서, Ω(ω)는 Aki의 진원 스펙트럼을 나타내고[15], STF의 푸리에변환 을 D ˙ ( ω )로 표시하면 | M 0 D ˙ ( ω ) | 와 같으며, M₀는 지진모멘트를 나타낸다. 그리고 단층면적에 대한 이중적분으로 표시된 부분이 파동의 진동수별 위 상지연을 나타낸다.

식 (2)의 이중적분 결과를 진원에서의 위상지연과 파동의 전달경로에서 의 위상지연을 나타내는 위상각 ψ_s와 ψ_p로 나누어 쓸 수 있다면, 위의 식은 다음과 같이 된다.

한편 관측점에서 얻은 지반 변위 기록을 u_m(x,t)라 하면, 이에 대한 푸리 에변환으로부터 얻어지는 진동수 함수 U_m(x,ω)는 다음과 같다.

U_m(x,ω)는 복소수함수이므로, 이를 절댓값과 위상지연으로 나누면,

여기서, A ( ω ) = | U m ( x , ω ) | 를 푸리에 진폭스펙트럼, ϕ(ω)를 위상 스펙트럼 이라 하고, ϕ ( ω ) = tan − 1 { Im ( U m ) / Re ( U m ) } 이다.

식 (4)와 식 (6)에 의해 기록 지진동의 푸리에변환을 통해 얻는 위상각 ϕ 는 ψ_s + ψ_p를 나타내고, 이것은 단층의 각 부위의 파괴로 인해 발생하는 파 동의 중첩특성과 전달경로의 특성에 관한 정보를 나타낸다는 것을 알 수 있 다. 그리고 진원 스펙트럼 Ω나 A(ω)는 각 진동수에 대한 성분파의 진폭만 을 나타내므로 지진동의 확률론적 의미에서의 비정상성은 위상정보에 의 해서 결정된다고 할 수 있다. 따라서 지진동의 비정상성을 나타내기 위해서 는 푸리에 진폭스펙트럼과 위상 스펙트럼에 대한 정보가 모두 필요하다.

2.2 계속시간과 선형위상

기존 GMPEs[16, 17]에서 지진동의 계속시간은 두 가지로 나누어 생각 하는데 하나는 진원에서의 계속시간 (source duration) t_s이고, 다른 하나 는 파동의 전달경로에서 발생하는 계속시간 (path duration) t_p이다.

t_s는 진원 스펙트럼 Ω와 관련 있는데, 현재 가장 일반적으로 사용되고 있는 ω-squared 모델에 속하는 것 중에서 Brune의 STF 모델[18]을 인용 하기로 한다. Brune의 STF는 형상 파라미터 2와 스케일 파라미터 τ_r을 갖 는 감마분포의 확률밀도함수와 같다. 즉

여기서, τ_r은 단층파괴의 기동시간 (rise time)을 나타내고, H (t′)은 Heaviside의 계단함수이며, t = t − t ξ − t | x − ξ | 이다. 그리고 식 (7)의 푸리에변 환, 즉 D ˙ ( ω )는 감마분포의 확률밀도함수에 대한 특성함수의 정의[12]를 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서, ω_c는 모퉁이 진동수를 나타내고, 1/τ_r과 같다. 따라서 Brune의 STF 에 대한 진원 스펙트럼은 다음과 같이 쓸 수 있다.

식 (9)에서 지진모멘트를 제외한 나머지의 제곱근은 low-pass 필터로 많이 사용하는 Butterworth 필터의 가장 간단한 형식이다[19]. 필터 이론 에 있어서 기동시간 τ_r은 필터의 step 응답 함수의 기민성을 나타낸다[20]. 다시 말해 τ_r보다 긴 주기를 갖는 신호는 응답할 시간이 충분해 통과시키고, 짧은 주기를 갖는 경우에는 필터가 충분히 응답할 시간이 모자라 신호를 제 대로 통과시키지 못하게 된다. 이런 의미에서 STF에서의 τ_r은 단층의 상대 변위가 0에서 D₀까지 발생하는데 걸리는 시간에 대한 지표라고 할 수 있다. 이런 속성은 식 (7)에 나타낸 감마분포의 확률밀도함수에 대한 누적분포함 수를 통해서도 알 수 있다. 누적분포함수가 0에서 1까지 증가하는 변화율을 가늠하는 데에는 보통 표준편차나 분산을 이용한다. 식 (7) 의 경우는 중앙 값을 제외하고 평균 (2τ_r ), 분산 (2τ r 2) 및 최빈값 (τ_r )모두 스케일 파라미터τ_r 에 의해 결정된다.

일반적으로 t_s는 τ_r과는 다르다[14]. 하지만 기존 GMPEs나 이론모델 에 관한 연구에서는 τ_r을 이용하여 정의하는 경우가 많다. 예를 들어, Izumi et al.[15] 은 Haskell의 선 진원 (line source) 모델에 대해 t_s로 2τ_r을 정의 하였고, Boore and Thompson[17]은 북미지역에 대해 이것보다 조금 더 긴 πτ_r로 정의하였다. 이렇게 서로 다른 정의를 사용하는 가장 근본적인 이 유는 계속시간의 정의가 다른 것도 있겠지만, 진원 근처에서 계측된 실체파 의 역해석 (inversion)을 통해 STF를 추정하는 경우를 제외하면 STF에 대 한 정보를 알 수 없기 때문이다.

파동의 전달경로에서 발생하는 계속시간 t_p는 두 가지 요소로 나눌 수 있 다. 하나는 Brune의 논문[18]에서 나타낸 것과 같이 진원에서의 파동이 S 파속도 β에 의해 전달되는데 걸리는 평균 시간을 나타내는 r₀/β이고, 다른 하나는 관측점까지 파동이 전달되는 과정에서 파동 전달 매질의 불균질성 과 불연속성 등에 의해 추가되는 시간이다. 이와 같은 매질의 특성에 의한 지연을 위상의 왜곡 (phase distortion)이라 한다. 만약 매질이 등방성 단결 정 탄성체의 특징을 갖는다면 위상의 왜곡이 발생하지 않아 진원에서 발생 한 파동은 매질의 점성 감쇄 특성에 의해 진폭은 작아지지만 위상특성은 aω + b (a,b는 상수)와 같이 선형위상으로 나타낼 수 있고, 진원에서의 위상 특성은 관측점에서도 그대로 유지된다. 위상의 왜곡이 있는 경우 선형위상 특성은 유지되지 않고, 진원에서 형성된 STF의 형상에 변화를 주게 되며 계 속시간은 늘어나게 된다[20].

우선 기록 지진동의 사례를 통해 위상의 선형성을 보기로 한다. Fig. 1에 PEER NGA west2 데이터베이스[21]에서 도출한 1941년 Northern Calif- 01지진 (RSN 8, M_W 6.4, R_rup =44.68 km)의 지반가속도 기록에 대한 위 상 스펙트럼을 나타낸다. 여기서 RSN은 데이터베이스의 Record Sequence Number이고, M_W는 지진의 모멘트 규모이며, R_rup은 단층파괴 면으로부 터 관측점까지의 최단거리를 나타낸다. 그림으로부터 알 수 있듯이 위상 스 펙트럼은 외견상으로는 선형위상의 특성을 잘 나타내고 있다고 할 수 있다. 이런 외견상 특징은 거의 모든 지진파에 공통으로 나타난다.

선형위상을 가정하고 평균 지연시간만을 이용하여 위상지연을 나타내 면, 식 (4)의 위상지연은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, L은 단층의 대표 길이를 나타내고, υ_r은 단층의 평균 파괴속도를 나타낸다. 따라서 위의 식은 단층이 파괴되는데 걸리는 평균 시간과 파동이 관측점까지 도달하는 평균 시간의 합을 나타낸다. υ_r은 0.65β~0.85β의 값 을 갖는 것으로 보고되었으나 정확한 값을 얻기 어렵고, 극히 일부이기는 하 지만 S파 속도는 물론 P파 속도를 초과하는 경우도 있다[22].

식 (10)을 식 (4)에 대입하면

가 되고, STF로 식 (7)을 가정하여 푸리에 역변환하면, 다음과 같다.

여기서, t ′ = t − L v r − r 0 β .

식 (12)는 지반변형이 감마분포의 확률밀도함수 형상으로 t′ = 0, 즉 t = L / υ r + r 0 / β 에 도착하는 것을 나타내는데, 이 도착시간을 파두 (wavefront) 의 도착 지연시간이라고 한다. 파두의 도착 지연시간 t_fr의 정의는 다 음과 같다[20].

식에서 알 수 있듯이 파두 도착 지연시간은 ω→∞일 때 진동수에 대한 위상의 점근경사 (asymptotic gradient)를 나타내는데, ω→∞일 때 ϕ(ω) 가 직선에 점근하지 않으면 파두의 도착 지연시간은 정의되지 않는다. Aki and Richards[13]에 의하면 파두의 도착 지연시간을 알기 위해서는 ㎑ 또 는 ㎒ 단위의 계측기록이 필요한데 이와 같은 진동수 대역은 기록 지진동에 서는 얻을 수 없는 진동수 대역이다. 이것이 원거리장 S파 지반 변위 스펙트 럼 모델에서 일반적으로 위상지연 항을 제외하고 기술하는 이유 중 하나라 고 사료 된다. 그리고 위상정보에서 평균 위상지연은 지진동의 비정상성에 관한 아무런 정보도 제공하지 않는다는 것을 알 수 있다.

한편, Miyake et al.[23]은 광대역 진동수특성을 갖는 지진동 시뮬레이 션에서 유한 진원의 단층면을 유한개의 부속면 (subfault)으로 나누어 각 부속면에 asperity와 그 주변부 (background slip area)를 가정하고, 각 부 속면의 파괴속도를 달리하여 과거 발생한 대규모 지진의 지진동을 진동수 대역 0.2 Hz~10 Hz에서 재현했는데, asperity 부분은 빠른 파괴속도로 지 진동의 높은 진동수 성분을, 그 주변부는 상대적으로 늦은 파괴속도로 낮은 진동수 성분을 생성한다는 것을 밝혔다. 이와 같은 연구결과는 우리가 단층 면에서의 강성분포와 단층파괴속도에 대한 정확한 정보가 없다면 ψ_s는 확 률변수로 취급되어야 함을 나타낸다고 할 수 있다.

현재 위상의 왜곡을 파동 전달경로의 지반특성으로부터 정량적으로 평 가 할 수 있는 방법은 없다. 그래서 앞서 언급한 Miyake et al.의 연구를 비 롯하여 경험적인 Green 함수를 이용한 지진동의 추정기법에서는 동일 단 층에서 발생한 중소규모의 전진 (foreshock)에서 얻은 기록이나, 또는 그에 대한 푸리에 진폭스펙트럼과 위상정보 (요소지진정보)를 경험적인 Green 함수로 사용하여, 그 단층에서 발생할 수 있는 대규모 지진의 지진파를 t ξ + t | x − ξ | 를 고려한 요소지진의 중첩을 통해 추정한다. 이 방법은 단층 규 모의 차이는 단층면 각 부위에 대해 가정한 강성과 파괴시간으로 고려하고, 진원으로부터 발생한 파동의 전달경로는 같은 관측점이라면 같거나 유사 하고 위상의 왜곡 또한 그럴 것이므로 요소지진에 이들 정보가 포함되어 있 을 거라는 전제조건에서 출발한다. 지금까지의 연구결과를 보면 가정한 요 소지진의 위상정보로부터 대규모 지진기록의 위상특성을 제한된 진동수 대역에 대해서는 재현한 사례가 있지만, 진동수 대역을 Nyquist 진동수까 지 확대하면 대부분 기록 지진동과 다르게 나타났다[24]. 한편 ASCE/SEI 4-16[8]에서는 고려해야 할 진동수 대역을 0.25 Hz~25 Hz로 규정하고 있 고, 지반의 종류에 따라 25 Hz 이상의 진동수 대역을 고려할 것을 추천하고 있다.

이상의 연구 동향으로 볼 때, ψ_s + ψ_p 또는 t_s + t_p를 서로 명확하게 분리 할 수 있는 방법은 없고, 기록 지진동 해석을 통해 얻은 위상각 ϕ의 확률론 적 특성을 파악할 필요가 있다고 판단된다.

2.3 포락함수의 rms시간과 군 지연시간

지반가속도 f(t)의 계속시간을 나타내는 지표로 포락함수의 rms (root mean square) 시간을 들 수 있다. 포락함수의 rms 시간 t_s는 다음의 | f ( t ) | 2 에 대한 2차 모멘트로부터 얻을 수 있다[20].

다음으로 위 식의 피적분함수는 시간 함수의 미분과 푸리에변환의 진동 수에 대한 미분과의 관계

를 이용하면 다음과 같이 바꿀 수 있다. 여기서 ↔는 푸리에변환과 역변환 을 나타낸다.

여기서 *는 공역 복소수를 나타낸다. 한편 dF/dω는 식 (6)의 우변에 대한 미분으로부터 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서, A(ω)는 F(ω)의 절댓값을 나타낸다.

그리고 Parseval의 정리를 이용하면 t s 2 은 다음과 같이 된다.

여기서

한편 계속시간을 나타내는 지표로 포락함수의 표준편차 시간을 사용한 다면 포락함수의 중심에 해당하는 평균시간을 정의하여야 한다. 평균 시간 t 를 평가하기 위해 F(ω)의 임의의 진동수 성분 F_k(ω)를 이산 푸리에 진폭 스펙트럼 (discrete Fourier amplitude spectrum)을 이용하여 다음과 같이 진동수 대역폭 2Δω′에 대해서 정의하고, 그 이외의 진동수에 대해서는 0으 로 가정한다.

식 (20)의 푸리에 역변환 f_k(t)는 푸리에변환의 shift원리를 이용하여 다 음과 같이 구할 수 있다[19, 20].

여기서 e_k(t)는 f_k(t)의 포락함수 (amplitude modulation function)를 나 타낸다. 또한 f(t)의 계측 시간을 T 라 하고, 샘플링 시간 간격을 Δt , 샘플 링 데이터의 개수를 N =T/Δt라 하면, 진동수 간격 Δf는 1/T이 되고, Δ ω = 2 Δ ω ′ = 2 π × 1 / T 의 관계로부터 식 (22)는 기준화된 sinc 함수 (sinc x = sin π x / π x)를 이용하여 다음과 같이 수정할 수 있다. 기준화된 sinc 함수는 t =t_gr,k에서 최대치 1을 갖는 대칭함수이고, 이하에서는 이 함 수를 sinc함수라고 부르기로 한다.

따라서 포락 함수의 평균 시간 t 는 2A(ω_k)를 가중치로 한 t_gr,k의 가중평 균에 해당한다. 즉,

여기서, N에 대한 극한은 Δω→0을 의미하고, ω₀는 0 rad/sec를 나타낸다. 또, 식의 우변 마지막 항은 A(ω)의 대칭성을 고려한 것이다.

한편 sinc 함수의 최대치에 해당하는 시간 t_gr,k는 N이 충분히 클 때 정 류위상의 원리 (stationary phase principle)에 의해 다음 식으로 정의되고, 이를 군 지연시간 (group delay) 이라고 한다[13, 25].

여기서,Δϕ_k는 위상차를 나타내며, 편의상 다음 식으로 정의하고,

Δϕ_k는 (-π,π) 구간에 분포하는 것으로 한다. 이 조건을 만족하는 위상 각을 unwrapped phase라고 부르는데, 이런 조건이 인접 진동수 간의 급격 한 위상변화를 막아줘 위상차의 분산특성과 선형위상 특성을 검토하는 데 유리하다.

이상의 검토 결과로부터 포락 함수의 폭, 즉 계속시간은 기본적으로 군 지연시간 t_gr의 분산특성, 즉 위상차 Δϕ의 분산특성에 의존하는 것을 알 수 있다. 그리고 PGA 역시 t_gr의 분산특성과 밀접한 관련이 있다. t_gr의 분 산이 작은 경우, 지진동의 에너지가 시간 영역의 좁은 구간에 집중하게 되어 큰 진폭이 발생하고, 반대로 t_gr의 분산이 큰 경우 상대적으로 에너지가 시 간 영역에서 분산되어 f_k(t)를 중첩 시켰을 때 작은 진폭으로 나타나기 때문 이다. 또한 t_gr은 지진동의 비정상성을 나타내는 중요 변수이다. 이것은 f(t)를 식 (21)~식 (23)을 이용하여 다음과 같이 수정함으로써 알 수 있다.

여기서, G(ω)는 연속스펙트럼을 나타내고 그 크기는 2A(ω)이다. 그리고 ωN은 Nyquist 진동수를 나타낸다.

식에서 f_k(t)는 Gabor 변환의 기본파 (elementary wave)[26]와 유사한 데, 이 중 sinc 함수는 식 (20)~식 (23) 에서 알 수 있듯이 중심 진동수 ω_k , 진 동수 대역폭 Δω의 신호만을 통과시키는 이상적인 대역통과 필터 (Bandpass filter)의 푸리에 역변환 함수로서, 그 절댓값은 시간-진동수 평면 (time-frequency plane)에 진동수 ω_k의 성분파가 갖는 에너지를 시간 t_gr,k 에 나타내는 일종의 발전 스펙트럼 (evolutionary spectrum)을 제공한다 [25]. 비정상 스펙트럼은 시간을 기준으로 볼 때 시간 구간별로 명확한 스펙 트럼 특성의 변화가 있는 경우를 말하는데, 이러한 특성은 t_gr,k의 확률분포 특성에 의해 나타난다고 할 수 있다. 따라서 지진동의 비정상성에 의해 PGA가 특정 진동수 대역의 성분파에 의해 발생한다면 진동수 대역별로 t_gr,k의 분산특성에 차이가 나타나게 된다.

2.4 군 지연시간의 확률분포

위상차의 확률분포는, 일본을 제외하면, 1979년 발표된 Ohsaki의 논문 에서 처음으로 언급되었다[27]. Ohsaki는 지반가속도의 위상각은 서론에 서 언급한 바와 같이 구간 (0,2π)의 uniform 분포에 따르지만, 위상차의 확 률분포는 정규분포와 유사하고, 같은 구간을 위상차 확률변수에 대한 구간 으로 할 때 그 분포는 지반가속도의 포락 함수와 매우 유사함을 지적하였다. 이러한 지적은 식 (23)과 식 (25)를 이용하면 쉽게 이해 할 수 있다. 즉, Δϕ 의 확률분포가 (0,2π)의 구간에 대해 정의될 때 Δϕ/Δω는 Δϕ×T/2π이 므로, 위상차의 확률분포는 (0,T)의 구간에 대한 군 지연시간 t_gr의 확률분 포와 같고, 포락 함수의 형태는 앞서 이미 언급한 바와 같이 푸리에 진폭스 펙트럼 A(ω)및 군 지연시간과 밀접한 관련이 있기 때문이다. 여기서 푸리 에 진폭스펙트럼이 식 (9)와 같이 넓은 진동수 대역에서 평탄한 특성을 갖 고 dA/dω≪1이라면 포락 함수와 위상차 확률분포의 형태는 더 유사하게 나타나게 될 것이다.

Ohsaki의 논문에서 주목해야 할 또 하나의 내용은 위상차에 대한 왜도 와 첨도가 정규분포의 경우와 비교해 전혀 다른 점인데, 이에 대해서는 명확 한 설명이 없다. 이후 최근까지 지진 가속도의 위상차 특성에 관한 연구가 다양하게 이루어졌는데, 그 중 Thráinsson et al.[28]은 미국 서부지역에서 비교적 최근에 발생한 강진기록 중 비슷한 지진 규모와 지질학적 특징을 갖 는 기록을 이용하여 위상차의 분산특성이 푸리에 진폭스펙트럼의 진동수 별 크기와 상관관계를 갖는다는 것을 밝히고, 위상차에 대한 확률분포로 Beta 분포를 가정하였다. 한편 Boore[29]는 Thráinsson et al.이 지적한 푸 리에 진폭스펙트럼의 크기와 위상차의 분산특성과의 상관관계를 인용하면 서, 추가로 장주기 표면파가 가속도 기록의 후반부에 나타나는 경우를 들어 위상차의 평균은 진동수 대역에 의존함을 지적하였다.

비교적 최근에 이루어진 연구 중에서, Anache-Ménier et al.[30]은 미 국 캘리포니아 Pinyon Flats Observatory에서 수십 미터 간격으로 배치된 지진관측 장비 array의 관측기록을 이용한 coda 파의 해석결과로부터 위상 차의 공간 미분에 대한 확률분포가 원형 정규분포 (Circular normal 분포) 임을 밝혔다. 물론 위상문제를 시간에 대해서 보는 경우와 거리에 대해서 보 는 경우는 진원과 관측점 사이의 파동 전달경로에서 비탄성 감쇄의 크기를 나타내는 Q-factor의 경우와 마찬가지로 서로 차이가 있지만[13], 관측 장 비 array의 간격이 충분히 작다면 시간과 거리에 대한 동질성을 말하는 동 결장 (frozen field)의 가설[31]이 성립한다고 판단된다.

연구에서 사용한 원형 정규분포는 각도 θ에 대한 von Mises (vM)분포 를 말하며, vM분포의 확률밀도함수는 다음 식과 같다[32].

여기서, m∈(-π,π)는 위치 파라미터로서 정규분포의 평균에 해당하고, ζ 는 집중도를 나타내는 파라미터로, 1/ζ이 정균 분포의 분산과 같은 역할을 한다. 그리고 I₀(ζ)는 0차의 변형 Bessel 함수를 나타낸다. 한편 각도를 나 타내는 확률변수 θ의 범위는 위치 파라미터 m과 마찬가지로 (-π,π)의 구 간으로 제한된다.

한편 식 (32)만 보면 vM 분포와 정규분포와의 관계를 알기 어려운데, vM 분포에 대한 근사분포인 다음의 wrapped normal (WN) 분포를 이용 하면 이들 두 가지 분포의 상호관계를 알 수 있다[33].

여기서, m과 s는 각각 평균과 표준편차를 나타낸다. 식 (28) 과 식 (29) 는 적용목적에 따라 취사선택이 가능할 정도로 유사하다고 알려져 있다 .

정규분포와 WN 분포와의 관계는 다음과 같다. 정규분포에 따르는 확률 변수를 Z∈(-∞,∞)라고 하면, Z 와 WN 분포의 확률변수 Θ와의 관계는 Z 에 대한 주기 2π의 modulo 조작으로 정의된다. 즉,

그런데 위상각의 경우 식 (6) 에서 알 수 있듯이 e^jϕ의 형태로 사용되고, e^jϕ는 오일러 공식에 의해 cos 함수와 sin 함수의 선형결합이며, mod(2π)는 cos 함수와 sin 함수의 주기성에 의해 이루어지게 되므로 위상차 분포로 서 정규분포를 가정하는 것은 Anache-Ménier et al.[30]의 연구결과와 일치한다고 할 수 있다. 여기서 한 가지 더 언급할 필요가 있는 것은 위상 각 분포에 대한 것이다. 정상확률과정에 대한 스펙트럼 표현[34] (Spectral Representation) 과 포락 함수를 이용한 고전적인 지진 파형의 시뮬레이션 에서는 서론에서 언급한 바와 같이 위상각의 확률분포로 구간 (0,2π)의 uniform 분포를 가정하여 왔다. 하지만 위상각의 확률분포가 uniform 분 포인 경우, 위상차의 확률분포는 구간 (-2π,2π)에서 평균 0인 삼각형 분포 가 되고, 확률변수의 구간을 (-π,π)가 되게끔 modulo 조작을 하면 원래의 확률분포인 uniform 분포와 같아진다. 이 점은 위에서 의논한 내용과 차이 가 있다. 한편 정규분포는 확률변수의 선형결합에 대해 닫혀있으므로, 위상 각 분포를 정규분포로 가정하면 위상차 분포 또한 정규분포가 된다. 그리고 WN 분포나 vM 분포의 경우 s² ≫ 1 (또는 ζ≪1)인 경우 확률밀도함수가 uniform 분포에 접근하고, 반대로 s가 2π와 비교해 충분히 작은 경우 (ζ≫1의 경우) modulo 조작은 의미가 없고 분포는 정규분포와 같아지는 데, 이런 특성은 과거의 연구결과에서 보고된 위상차에 대한 왜도 및 첨도를 포함한 통계적 특성과 일치한다.

이상의 검토로부터 위상각 ϕ와 위상차 Δϕ는 정규 확률변수로 가정하 는 것이 타당하고, 이들 확률변수의 확률분포는 확률변수의 구간을 (-π,π) 또는 (0,2π)로 제한할 경우 WN 분포 또는 vM 분포가 된다고 보는 것이 합 리적이라고 판단된다. 이에 관한 근거의 예로 Fig. 1에 보였던 Northern Calif-01 지진의 위상 관련 확률분포를 Fig. 2에 나타낸다.

다음으로 위상차의 구간이 (-π,π)로 제한될 때 군 지연시간 t_gr은 식 (25) 에 의해 (-T/2,T/2)구간에 분포한다. 그리고 포락 함수를 결정하는 sinc 함수의 변수 t-t_gr은, 0 ≤ t ≤ T 인 점을 고려하면, 길이 2T 인 구간 (-T/2,3T/2)에 분포하게 되는데, t-t_gr의 구간길이가 T 를 초과하는 경 우 시뮬레이션 결과에 부자연스러움을 초래하기도 한다. 그 이유는 구간길 이가 T를 초과하면 푸리에 급수의 주기성에 따른 영향 (link effect)[35] 으 로, t =0 과 t =T 부근에서 유사한 파형이 나타나기 때문인데, 이러한 현 상의 발생 여부는 t_gr의 분산에 의존한다. 따라서 t_gr의 분산이 큰 경우에는 시간 길이를 충분히 크게 설정하고 t_gr의 평균을 조정하여 주기성의 영향을 피할 필요가 있다. 여기서 시간 길이를 충분히 길게 한다는 것은, 고속 푸리 에변환 (FFT) 을 이용한 기록 지진동의 해석에서 계산효율을 높이기 위해 기록의 앞이나 뒤, 또는 앞뒤에 전체 데이터의 개수가 2ⁿ이 되도록 0 데이터 를 추가하여 원 기록의 길이 T 보다 긴 T′의 기록을 해석하는 것과 관련 있 다. 이처럼 0 데이터를 추가하여 기록의 길이를 조정하면, 데이터의 개수가 T′/T만큼 늘어나고 위상차의 분산이 T/T ′만큼 작아짐과 동시에 Δω도 T/T ′만큼 줄어들어 결과적으로 t_gr에는 T′/T만큼의 분산증가가 발생하 게 된다. 한편 일정 시간 길이를 갖는 기록으로부터 얻은 t_gr의 분산을 이용 하여 시뮬레이션을 할 경우, 시간 길이가 길어지면 마치 t_gr의 분산이 감소 한 것과 같은 효과를 얻어 주기성의 영향이 약화 된다. 위상의 해석에서 기 록 지진동에 0 데이터를 추가하여 t_gr의 분산을 해석할 경우 기록의 길이 변 화에 따른 분산의 증가에 대한 보정이 필요하다.

한편 선형위상 특성은 위상 왜곡의 정도를 가늠할 수 있다는 점과 형식 의 간결함으로 인해 여전히 중요하다고 할 수 있다. 위상차를 식 (26)으로 정의하고 ϕ₀ =0이라고 가정하면, 진동수 구간 (0,ωN)에서의 평균 위상변 화는 다음과 같이 쓸 수 있다.

식의 양변을 Δω로 나눠주면 선형위상의 기울기는 다음과 같이 -E[t_gr] 이 된다.

따라서 식 (4)와 식 (6)의 위상은 다음과 같이 쓸 수 있다.

식 (31)~식 (33)에 대한 이해를 돕기 위해 Fig. 3에 Northern Calif-01 지진의 위상차 스펙트럼을 나타낸다. 그림에서 진동수에 대한 위상차의 평 균 (-1.34 rad)을 Δω로 나눈 것이 -E[t_gr]에 해당하고, 평균을 중심으로 한 변동이 ϕ′(ω)에 해당한다. 만약 기록에서 배경잡음의 영향이 크다면 특 정 확률분포로 위상차의 확률분포를 나타내는 것이 어려워진다. 이는 정상 신호와 배경잡음의 위상에 대한 확률분포 특성이 다르기 때문이다.

한편, 앞서 기술한 바와 같이 위상의 확률분포는 정규분포 N(m,s)로 가 정하는 것이 타당하므로, Boore의 연구결과[29]를 반영하여 다음과 같이 ϕ(ω)의 평균 E[ϕ(ω)]의 진동수 의존성에 따라 두 가지 경우로 나누어 생각 할 수 있다. 여기서, 기호 “~”는 ϕ(ω)가 정규 확률변수임을 나타낸다.

이들 두 가지 경우를 합쳐 진동수에 대한 위상지연은 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서, m_ϕ(ω)는 위상지연의 특성상 0보다 커야 하고, ϕ′(ω)는 다음 식을 만족한다.

식 (34)를 선형위상의 형식으로 나타내면 다음 식과 같다.

여기서,

이고, ϕ(ω)/ω를 군 지연시간과 구별하여 진동수 ω에 대한 위상지연 (phase delay)이라고 한다.

3. 기록 지진동의 위상차 특성과 계속시간 및 PGA 와의 관계

3.1 기록 지진동 개요

기록 지진동의 위상특성 및 지반가속도의 계속시간 및 PGA의 관계를 검토하기 위하여 PEER NGA West2 데이터베이스[21]의 기록 중, 우리나 라의 지진위험도를 고려하여 M_W 5.5~6.5에 해당하는 300개 기록의 수평 2방향 지반가속도 기록을 분석하였다. 이들 기록은 우리나라의 지질학적 특성과는 다른 active tectonic 지역으로 분류되는 지역에서 발생한 것들인 데, 그럼에도 불구하고 이들 기록을 사용한 이유는 우리나라의 지질학적 특 성에 해당하는 stable continent에서 발생한 지진 기록의 데이터베이스인 East 데이터베이스로부터는 충분한 양의 기록을 확보할 수 없고, 현재 개발 이 가장 진전된 GMPEs가 West2 데이터베이스를 기반으로 한 것이어서 본 연구의 결과를 상호 비교하기 수월하다는 이점이 있기 때문이다. 기록의 선택은 천층 지진 (shallow crustal earthquake)을 대상으로 하기 위해 R_rup의 범위를 0~50 ㎞로 제한하였다. 또한, 표층 지반 두께 30 m의 평균 전단파속도 V_s,30에 대한 기록선택 조건으로 150~350 ㎧, 350~500 ㎧, 500~750 ㎧의 3개 범주를 설정하였고, 각 범주는 100개의 기록을 포함하 며, V_s,30>750 ㎧의 경우에 대해서는 사용할 수 있는 기록의 수가 10개 미 만이어서 검토대상에서 제외하였다. 각 범주에 속하는 기록들의V_s,30의 평 균, 표준편차 및 최대, 최소값은 각각 (275,45,350,173), (408,41,496,352) 및 (579,55,730,505)이다. V_s,30=150~350 ㎧의 범위에는 건축구조기준 [1]의 0306.3.2.의 지반분류에서 S_E에 해당하는 기록이 두 개 포함되어 있 는데 이들 값은 173 ㎧, 178 ㎧로 전체적인 해석결과에 영향이 미미할 것 으로 판단하여 해석에 포함하였다. 따라서 사용된 기록들은 건축구조기준 의 지반종류 S_C~S_D에 해당한다고 할 수 있다. V_s,30을 기준으로 한 이와 같 은 분류는 건축구조기준의 분류와 약간 차이가 있는데, 여기에서는 Sun et al.[36]의 우리나라 지반지층의 대표 전단파 속도에 관한 연구에서 제시한 풍화토에 대한 결과 (평균 350 ㎧, 표준편차 151 ㎧)를 중심으로, 건축구조 기준에서 정한 보통암 (S_B)에 대한 전단파속도의 범위 (760 ㎧~1500 ㎧) 를 고려하여 결정하였다. 사용한 기록의 목록은 데이터베이스에 위의 조건 을 입력하면 항상 같은 기록들을 얻을 수 있으므로 생략한다.

3.2 해석개요

해석에 있어서, 기록은 데이터베이스의 기록을 그대로 사용하였으며, 앞서 언급한 바와 같이 계산효율을 고려하여 기록의 길이가 2의 배수가 되 도록 기록 데이터의 후미에 0 데이터를 추가하였고, 위상차의 분산은 보정 하였다. 그리고 각 기록의 Δω가 다른 점을 고려하여 Boore[29]와 마찬가 지로 위상차의 분산특성을 군 지연시간 t_gr을 이용하여 평가하였다.

각 기록의 푸리에 스펙트럼 해석에는 별도의 필터링 조작은 하지 않았다. 따라서 데이터베이스의 메타 데이터에 표시된 유효 최소 진동수 범위를 벗 어난 낮은 진동수의 위상정보도 해석결과에 포함되었다. 위상차는 식 (26) 에 따라 계산하였고, 위상차의 범위는 (-π,π)이다.

위상차의 진동수별 평균과 표준편차의 계산에 있어서, 지진동의 경우 확 률과정이론의 Ergodicity[34]를 가정할 수 없는 비정상 확률과정의 특성을 갖는다. 만약 지진동에 대해서 Ergodicity를 가정할 수 있다면 각 진동수에 대한 위상지연 ϕ(ω)/ω에 관한 통계치는 다수의 표본 기록 해석을 통해 직접 평가할 수 있을 것이다. 그러나 지진의 경우 한 개의 표본이 서로 다른 조건 에서 발생한 독립적인 기록이고, array 관측기록을 사용한다고 하더라도 관 측점 간의 거리가 각 진동수의 파장과 비교해 멀기 때문에 다수의 표본을 이 용한 통계적 추정이 불가능하다. 이에 본 논문에서는, Thráinsson et al.[28]과 Boore[29]가 지적한 바와 같이 위상차의 분산이 푸리에 진폭스 펙트럼의 크기와 관계있고, 푸리에 진폭스펙트럼의 형상은 ω-squared 모 델에서 알 수 있듯이 낮은 진동수 대역과 높은 진동수 대역을 제외하고 평탄 한 특성을 갖는다는 점, 그리고 각 기록의 데이터 개수 등을 고려하여 진동 수를 2 Hz의 대역폭을 갖는 구간으로 나누어 각 구간에 대해 위상차의 평균 과 표준편차를 계산하였다. 이것은 위상특성을 각 진동수 구간에 대해 Gauss 정상확률과정 (Ergodic process) 으로 가정한 것과 같다.

위상차와 지반가속도의 계속시간과의 관계를 평가하기 위해, 계속시간 을 다음과 같이 기준화된 Arias Intensity (AI)를 이용하여 평가하였고, 위 상차와의 관계를 검토하기 위한 계속시간은 주요 지표로 많이 사용되는 지 진에너지 누적비율 5%~75%에 해당하는 계속시간 SD_5-75와 5%~95%에 해당하는 SD_5-95를 사용하였다. 여기서, SD는 Significant Duration을 의 미하고, ASCE/SEI 4-16[8]에서는 SD_5-75를 강진의 계속시간으로 정의하 고 있다.

여기서, AI^-1은 식 (38)의 역함수를 나타낸다.

3.3 해석결과

3.3.1 최대 지반가속도

사용한 기록의 수평 2방향 PGA의 크기는 Fig. 4에 나타낸 것과 같이 V_s,30에 관계없이 0.01g~1.0g의 범위에 분포하고 있다. 한편 상용로그 log₁₀을 적용한 각 방향 PGA 비율의 확률분포 특성은 Fig. 5에 보인 것과 같이 정규분포의 특성을 갖고, 대수 평균 및 대수 표준편차는 각각 0.012와 0.158이다. 대수 표준편차의 크기는 Huang et al.[37]에 의한 M_W 6.5이상, R_rup <15 ㎞인 147개 기록 지진동으로부터 얻은 값 0.13과 유사하다. 단, 여기에서는 Huang et al.의 연구와는 달리 단층파괴 방향에 의한 영향에 대 해서는 전혀 고려하지 않았는데, 그 이유는 M_W ≤ 6.0 ~ 6.5 의 경우 방향성 에 의한 영향이 적다고 알려져 있기 때문이다[14].

GMPEs에서는 거리 감쇄특성을 검토하기 위해 각 방향 PGA의 기하평 균 (Geometric Mean, GM)이나 합 벡터의 크기, 즉 PGA의 SRSS (Square Root of the Sum of the Squares)가 사용된다. 이 두 가지 중, 건축구조기준 에서는 2방향 입력 지진동의 크기에 대한 조건을 SRSS로 규정하고 있으므 로, 사용한 기록 지진동의 거리 감쇄특성을 PGA의 SRSS를 기준으로 살펴 보았다. 그 결과를 Fig. 6에 지수함수를 이용한 회귀함수와 함께 나타낸다. 회귀함수는 전체적인 경향을 파악하기 위한 참고자료로 제시한 것이다. PGA의 SRSS에 대한 거리 감쇄특성은 회귀함수를 참고로 R_rup=1 ㎞에 대해 약 0.4 g, 10 ㎞의 경우 약 0.27 g, 그리고 그 후 본격적으로 감쇄가 시 작되어 50 ㎞에서는 0.05 g로 감소한다. R_rup=10 ㎞에 대한 값은 건축구 조기준의 지진구역계수 0.22를 임의의 방향에 대한 PGA로 보았을 때, 설 계 스펙트럼의 SRSS에 대한 최소규정 (0306.7.4.1)을 적용한 값 0.26 g (=0.22x 1.3x0.9)와 유사하고, Fig. 5에 나타낸 각 방향 PGA비율의 평균 이 약 1.0인 것을 고려한 결과 0.31 g (= 2 × 0.22 2) 보다는 작다.

3.3.2 계속시간의 해석결과

SD_5-75와 SD_5-95에 대한 통계적 특성을 평균과 표준편차를 이용하여 Table 1에 나타낸다. 표에서 알 수 있듯이 SD_5-75는 V_s,30을 기준으로 보았 을 때 V_s,30=150~350 ㎧의 범주에 속하는 것이 다른 범주에 속하는 경우 와 비교해 약 1초 정도 긴 것으로 나타났지만, V_s,30=350~500 ㎧의 경우와 500~750 ㎧의 경우에는 차이가 거의 없는 것으로 나타났다. 각 범주에 대 한 평균은 5~6초 정도이고, 변동계수는 0.53~0.68인 것으로 나타났다.

SD_5-95의 경우에는 V_s,30=150~350 ㎧의 범주에 속하는 것이 다른 경우 와 비교해 약 3~4초 정도 길게 나타났고, V_s,30=350~500 ㎧의 경우와 V_s,30=500~750 ㎧의 경우에는 약 1초 정도의 차이가 있는 것으로 나타났 다. 각 범주에 대한 평균은 11~15초 정도이고, 변동계수는 SD_5-75와 비교해 약간 작은 0.45~0.60의 값을 갖는다.

한편 Yamane and Nagahashi[38]는 일본의 지진기록 데이터베이스인 KiK-net의 기록 중, 자갈이 섞인 점토층의 GL-100~300 m 및 화강암층의 GL-2.0 ㎞ 깊이로 설치한 관측공과 지표면에서 동시에 얻은 관측기록의 비교를 통하여, 진폭은 지반특성에 의해 크게 변화하지만, 위상특성의 변화 는 비교적 작아, 위상변화에 의한 파형의 분산이 작다는 것을 지적하였다. 이는 지반특성에 따른 계속시간의 변화가 미미함을 의미한다. 또한, Boore and Thompson[16, 17]은 앞서언급한 진원에서의 계속시간과 파동전달 경로에서의 계속시간의 평가식을 제안하면서 지반의 영향이 약 1~2초 정 도임을 들어 지반의 영향을 배제한 식을 제시하였다. 이와 같은 차이는 Table 1에 나타낸 결과와 같고, 각 경우의 표준편차와 비교해 볼 때 작은 값 이므로 SD_5-75와 SD_5-95에 대해서는 지반의 영향을 고려할 필요가 없을 것 으로 판단된다.

SD_5-75와 SD_5-95와의 관계를 Fig. 7에 나타낸다. 이 들 두 가지 계속시간 의 관계는 기록의 방향과는 관계가 없고, 계속시간이 길어지면 분산이 커지 는 경향이 있지만, 평균적으로 볼 때 다음 식으로 나타낼 수 있다.

그림에서 알 수 있듯이 이들 계속시간 사이에는 비교적 명확한 관계가 있으므로 이하에서는 SD_5-75를 주 대상으로 검토를 계속하기로 한다.

3.3.3 SD_5-75와 R_rup, PGA의 SRSS와의 관계

SD_5-75와 R_rup과의 관계를 Fig. 8에 나타낸다. 그림에서 알 수 있듯이 SD_5-75는 R_rup이 커지면 증가하는 경향이 확인되었다. 이는 앞서 언급한 파 동의 전달경로에 의한 위상의 왜곡으로 포락 함수가 변형되기 때문으로 판 단된다.

한편, SD_5-75와 각 방향 PGA의 SRSS와의 관계를 Fig. 9에 나타낸다. 그 림에서 알 수 있듯이 SD_5-75는 PGA의 SRSS에 대하여 민감하게 변화하는 데, 약 0.2g 이하의 값에 대해서는 SD_5-75의 변동 폭이 크고, 그 이상의 SRSS에 대해서는 SD_5-75의 값과 변동 폭이 모두 감소하여, 평균적으로 볼 때 약 2~3초 정도의 값을 나타낸다.

이상의 관계를 정리하면, 단층면으로부터 관측점까지의 거리가 가까우 면 파동 전달경로에 의한 위상 왜곡이 상대적으로 작아 포락 함수의 폭, 즉 계속시간이 짧아지고, 이것이 PGA의 거리 감쇄특성에 영향을 미치는 것으 로 판단된다.

3.3.4 군 지연시간 t_gr 의 특성과 SD_5-75, PGA와의 관계

앞에서 언급한 바와 같이 SD_5-75와 SD_5-95는 지반특성의 영향을 거의 받 지 않는다. 따라서 SD_5-75와 군 지연시간 t_gr과의 관계 검토는 V_s,30에 대한 3가지 범주 중에서 특이 사항이 있는 범주를 대상으로 고찰하고자 한다.

먼저 V_s,30=150~350 ㎧에 대한 단층면으로부터 관측점까지의 최단거 리R_rup와 식 (32) 에서 정의한 -E[t_gr]과의 관계를 Fig. 10에 나타낸다. 그림에서 보면 -E[t_gr]은 R_rup =0∼50 ㎞의 범위에서 -4.0을 중심으로 분포하는 그룹과, R_rup > 25 ㎞의 범위에서 -8.0을 중심으로 분포하는 두 개의 그룹으로 나눌 수 있는데 이러한 특징은 모든 범주에 대해 공통으로 확 인 가능한 경향으로, 이들 두 개의 그룹은 서로 다른 속성을 갖는 것으로 볼 필요가 있으며, 진동수 대역별 t_gr의 분산특성과 밀접한 관련이 있다. 이에 대해서는 t_gr의 분산특성과 함께 뒤에서 의논하기로 한다.

진동수 대역을 2 Hz 간격으로 나눈 각 진동수 구간에 대한 서로 다른 5가 지-E{t_gr] 을 Fig. 11에 나타낸다. 이들 중 2가지는 전체기록의 평균과 평 균-표준편차를 나타내고, 나머지 3개는 대표적인 특성을 나타내는 기록 사 례이다. 먼저 평균과 평균-표준편차를 보면 10 Hz 이하의 구간과 그 이상의 구간을 나눠 볼 수 있는데, 평균적으로 10 Hz 이상의 진동수를 갖는 성분파 가 10 Hz 이하의 진동수를 갖는 경우보다 관측점에 먼저 도착한다는 것을 알 수 있다. 하지만 평균만을 놓고 보면 그 차이는 전 진동수 대역에 대한 평 균과 비교해 약 1초 정도로, SD_5-75에 대한 지반특성의 영향과 같은 정도라 고 할 수 있다.

한편 Boore[29]가 지적한 것처럼 표면파의 장주기 성분파가 관측점에 늦게 도착하는 경우와 그렇지 않은 경우의 사례로 R_rup =4.0 ㎞의 경우와 11.5 ㎞의 두 가지 경우를 같은 그림에 나타냈다. 그림에서 보면 4.0 ㎞의 경우는 장주기 성분파가 특별히 늦게 도착한다고 볼 수 없지만, 11.5 ㎞에 서 관측한 결과는 0~2 Hz 대역의 성분파가 그 이상의 진동수를 갖는 성분 파에 비해 약 4초 이상 늦게 도착하는 것을 알 수 있다. 이와 같은 장주기 성 분파의 도착 지연은 내진설계에 있어서 상당히 중요하다고 할 수 있다. 그 이유는 이 진동수 대역은 주기가 0.5초 이상인 대역으로 건축구조물의 고유 주기 대역에 해당하기 때문인데, 구조물이 먼저 도착한 단주기 성분파에 의 해 항복하고 그 이후에 장주기 성분파가 도착하게 되면 항복과 항복 이후의 강성저하로 고유주기가 길어진 구조물에 추가 손상을 발생시킬 가능성이 있기 때문이다. M_W ≃6.0정도의 지진의 경우 모퉁이 진동수가 약 1 Hz 이 하인 것으로 알려져 있는데, 지반특성의 영향으로 장주기 성분파에 대한 증 폭이 발생할 경우, 이와 같은 현상이 발생할 가능성이 높다고 할 수 있다. 이 와 같은 현상의 발생 가능성을 가늠해 보기 위하여 V_s,30=150~350 ㎧의 범주에 속한 100개의 기록으로부터 전 진동수 대역에 대한 E[t_gr]과 0~2 Hz 대역의 E[t_gr]과의 비율을 계산하여 Fig. 12에 보였다. 그림으로부터 알 수 있듯이, 평균 도착 지연시간과 비교해 장주기 성분파의 도착 지연이 큰 것으로 나타났고, 일부의 경우 1.0보다 작아 장주기 성분파가 먼저 도착 하는 것으로 나타났다. 결과 중에서 일부 결과가 0보다 작은 것으로 나타났 는데, 이런 경우는 배경잡음에 의한 noise floor 때문에 0~2 Hz 대역의 E[t_gr]이 0에 가까운 양의 값을 갖기 때문이다(Fig. 3 참조). 비율이 1.5보 다 큰 경우는 대체로 R_rup ≤30 ㎞의 범위에서 많이 발생하는데, 이 범위에 서의 전 진동수 대역에 대한 평균 도착 지연시간이 약 2~10초인 점을 고려 하면, 장주기 성분파의 평균 도착 지연시간은 약 10~24초 이상이 될 가능성 이 있고, 구체적인 지연시간은 이 진동수 대역의 위상의 분산특성에 좌우된 다고 할 수 있다.

Fig. 11에 나타낸 5종류의 -E[t_gr]의 사례 중, 가장 위에 나타낸 사례는 다른 경우와는 달리 0보다 큰 값을 갖는데, 이는 이 기록의 도착 지연시간이 0보다 작다는 것을 나타낸다. 이 기록은 1985년 Taiwan의 SMART1 array에서 얻은 기록인데 (RSN 492, M_W 5.8, R_rup = 41.4 ㎞), 지반가속 도 파형을 Fig. 13에 나타낸다. 기록의 오류 여부를 PEER의 담당자를 통해 확인해 본 결과, COSMOS (www.strongmotion.org)의 기록과 같은 것으 로 파악되었다. 이와 같은 결과가 나타날 수 있는 한 가지 가능성은 raw data 에 대한 푸리에 해석에서 식 (1)에서 정의한 것과는 달리 부호를 반대로 정 의해서 해석을 수행한 경우인데, Aki and Richards[13]는 그들의 저서에 서 식 (1)에서의 부호를 반대로 정의하여 시간-진동수 및 파수-거리 영역에 대한 푸리에변환을 정의하고 있다. 이와 같은 부호문제는 뒤에서 위상의 분 산특성에 대한 간단한 모델을 이용한 몬테카를로 시뮬레이션 (MCS)을 통 해 확인하기로 한다.

다음으로 V_s,30=150~350 ㎧에 대한 기록 지진동의 진동수 대역별 군 지연시간 t_gr의 표준편차 s_tgr을 Fig. 14에 보인다. 그림에서 가장 주목할 만한 특징은 모든 기록의 4~8 Hz 대역에서 s_tgr이 가장 작다는 것인데, 이 진동수 대역은 P파의 변형에너지에 대한 S파의 변형에너지의 비율이 다른 진동수 대역과 비교해 작아지는 진동수 대역과 매우 비슷하다. Margerin et al.[39]은 앞서 언급한 미국 캘리포니아 Pinyon Flats Observatory에서의 관측기록을 이용한 연구로부터 변형에너지의 비율이 이 진동수 대역에서 줄어드는 현상을 Energy Partition이라 부르고, 현상의 원인으로 P파와 S 파의 상호작용으로 생성된 표면파와 표면파에 대한 표층 지반의 파동 안내 (wave guide) 역할을 들었다.

그리고, Fig. 11의 E[t_gr]과 관련해서 언급한 장주기 대역 (0~2 Hz)에 주목하면, 4~8 Hz 대역과 비교해 s_tgr이 크게 나타난 것을 알 수 있는데, 이 는 s_tgr의 크기가 E[t_gr]의 크기와 연관성을 갖는다는 것을 보여준다고 할 수 있다. 그리고 8 Hz 이상의 대역에서는 진동수 대역별 s_tgr을 크게 두 가 지 부류로 나누어 볼 수 있다. 하나는 4~8 Hz 대역과 비교해 거의 변화가 없 는 부류이고, 다른 하나는 진동수의 증가와 더불어 증가하는 부류이다. 진 동수의 증가와 더불어 s_tgr이 증가 하는 경우는 각 진동수 대역에 속하는 성 분파의 관측점 도착시간이 진동수에 따라 차이가 크다는 것을 나타내는 것 으로, 이 경우 SD_5-75를 비롯한 지진동의 계속시간을 나타내는 지표가 증가 하고, 변화가 작은 경우와 비교해 PGA는 감소한다. 이러한 특성이 위상의 분산효과 (scattering effect)라고 할 수 있다.

또한 s_tgr은 진동수가 높아짐에 따라 증가하다가 약 20~25초에서 증가 가 멈추는 경향이 있는데, 이는 앞서 언급한 noise floor의 영향 때문이다. noise floor의 일반적인 특징으로 백색잡음을 들 수 있는데, 백색잡음의 위 상특성은 uniform 확률분포에 따르는 확률변수로 나타내고, 위상차를 (-π,π)의 구간에 대해 정의하면 위상차의 표준편차 s_Δϕ는 π / 3 가 된다. 여기에 Δω=2π/T을 적용하면 noise floor에서의 s_tgr은 T / 2 3 이 되는 데, 증가가 멈추는 부분이 이 값과 유사하다. noise floor의 영향은 신호 대 잡음의 비율 (Signal-Noise Ratio, SNR)에 비례하는데, 진동수에 비례해 서 s_tgr이 커지는 부류는 그 진동수 대역에서 진폭스펙트럼의 값이 진동수 에 비례해서 감소한다고 볼 수 있다. 이러한 감소의 원인으로는 파동 전달경 로의 비탄성 감쇄 특성을 생각할 수 있다. 파동 전달경로의 비탄성 감쇄 특 성은 각 지진에 대한 관측점에서의 감쇄 특성을 나타내는 값들이 필요한데, 진동수 및 경로에 의존하는 것으로 알려진 Quality factor (Q)와 진동수에 의존하지 않고 개별 지진에 따라 다른 kappa factor (κ)가 그것에 해당한다. 비록 데이터베이스로부터 Q나 κ에 대한 구체적인 정보를 얻을 수 없어 정 량적인 평가는 할 수 없지만, 현상의 거리 의존성이 확인된다면 원인을 찾는 데는 도움이 될 것이다.

비탄성 감쇄 효과는 다음의 두 식으로 표현되고, 식 (4)에 곱하여 사용하 는데, 사용에 있어서 연구자에 따라 두 가지를 동시에 사용하기도 하고[28], 둘 중 하나만 사용하는 경우도 있어 사용방법이 일정하지 않다. 또한, 현재 까지 제안된 GMPEs도 식 (41)를 고려한 것과 식 (42)를 고려한 것처럼 보 이는 경우로 나눌 수 있다[40].

Fig. 15에 사용한 300개의 기록 모두의 24~26 Hz의 진동수 대역에 대 한 각 방향 s_tgr의 기하평균과 R_rup과의 관계를 나타낸다. 그림에서 알 수 있듯이 이 진동수 대역에 대한 s_tgr의 기하평균은 R_rup이 증가함에 따라 커 지는데, 위에서 언급한 것과 같이 그림에 함께 나타낸 회귀함수를 기준으로 위와 아래의 두 가지 부류로 나누어 볼 수 있다. 회귀함수 아랫부분의 경우 거리에 따라 s_tgr의 증가 경향이 비교적 완만하지만 뚜렷하게 나타나 있고, 회귀함수의 상부에 속한 기록의 경우도 R_rup>25 ㎞에 대해서는 R_rup에 대 해 의존하지 않는 것처럼 보이기도 하지만 이는 noise floor의 영향에 의한 것이고, 전체적으로는 R_rup이 커짐에 따라 s_tgr의 증가 경향을 알 수 있다. 따라서 이러한 경향의 원인은 식 (41)에 나타낸 비탄성 감쇄와 noise floor 의 영향에 의한 것이라고 판단된다.

Fig. 16에 6~8 Hz 진동수 대역의 s_tgr의 수평 2방향 기하평균을 수평 2 방향 PGA의 SRSS와 비교한 결과를 나타낸다. 그림에서 알 수 있듯이 PGA의 SRSS는 s_tgr과 비교적 명확한 관계가 있음을 알 수 있다. 이러한 관 계는 Fig. 9에 나타낸 SD_5-75와 PGA의 SRSS와의 관계와 비교하면 매우 비 슷하다는 것을 알 수 있는데, 그 이유는 이미 앞에서 언급한 바와 같이 SD_5-75와 같은 계속시간을 나타내는 지표가 s_tgr에 의존하기 때문이다. 그 예로 사용한 300개 기록의 진동수 대역 6~8 Hz에 대한 s_tgr의 수평 2방향 기하평균과 SD_5-75와의 관계를 Fig. 17에 나타낸다. 그리고 Fig. 18에 6~8 Hz의 진동수 대역에 대한 log₁₀(s_tgr)의 확률분포 특성을 나타낸다. 대수 평 균과 대수 표준편차는 각각 0.66과 0.25이다. 이들 그림으로부터 현재 건축 구조기준에서 사용하고 있는 2400년 재현기간에 대한 지진위험도에 상응 하는 SD_5-75 는 평균 5초 미만이고 PGA가 커질수록 SD_5-75는 짧아지므로, 만약 계속시간이 내진성능을 나타내는 지표에 영향을 주지 않는다면 성능 평가에서 이것보다 긴 SD_5-75를 갖는 기록 지진동을 사용할 필요는 없다고 사료 되고, 성능지표에 영향을 준다면 적절한 SD_5-75를 정의할 필요가 있다.

마지막으로 Fig. 19에 전 진동수 대역에 대한 E[t_gr]과 s_tgr의 관계를 나 타낸다. 그림에서 알 수 있듯이 V_s,30=500~750 ㎧에 속한 일부 기록을 제 외하고 E[t_gr]과 s_tgr은 비교적 명확한 상관관계를 갖고 있으며, 변동계수 로 볼 때 1.0~2.5의 범위에 속하는 것으로 나타났다. 이런 경향을 Fig. 11과 Fig. 14에서 보인 t_gr의 진동수 의존특성과 함께 볼 때, E[t_gr]의 변동성은 s_tgr에 비해 작고, 장주기 표면파의 사례와 같이 특별한 경우를 제외하면 t_gr 의 진동수 의존특성은 s_tgr의 변동성으로 대표될 수 있음을 보여준다고 판 단된다. 그리고 V_s,30=500~750 ㎧에 속한 기록 중, E[t_gr]과 s_tgr이 모두 20초를 넘는 기록들은 진원으로부터의 거리가 멀고 PGA가 작은 기록들로, 잡음의 영향을 크게 받은 기록들이다.

3.4 몬테카를로 시뮬레이션(MCS)을 이용한 검토

기록 지진동의 진동수 대역별 위상특성을 분석한 결과를 요약하면 다음 과 같다.

이와 같은 특성을 바탕으로, ① m_ϕ =-E[t_gr]의 진동수 의존성은 무시 하여 전 진동수 대역에서 일정하고, ② s_tgr의 진동수 의존성은 Fig. 20에 나타낸 것과 같이 가정하여, Fig. 13에서 보인 E[t_gr]의 부호문제와 4~8 Hz의 진동수 대역에 대한 s_tgr과 SD_5-75와의 관계를 MCS를 통해 재현해 보았다.

푸리에 진폭스펙트럼 (FAS) 은 Montejo and Vidot-Vega[41]의 5% 감쇄에 대한 가속도 응답 스펙트럼 (PSA)과 FAS와의 관계에 대한 경험식 을 이용하여 설정하였다. FAS-PSA 관계식은 다음과 같다.

여기서, A F = a 1 S D 5 − 75 a 2 + a 3 , B = b 1 S D 5 − 75 b 1 + b 3 이고, f₀는 구조물의 고 유진동수를 나타낸다. 그리고 A_F와 B를 위한 각 계수는 제안자가 제시한 a₁=0.0512, a₂=0.4920, a₃=0.1123, b₁=-0.5869, b₂=-0.2650, b₃=-0.4580 을 이용하였다.

이 관계식은 제안자의 검토 결과 SD_5-75의 범위 약 1초~70초, 고유진동 수 범위 0.1 Hz~30 Hz의 구간에 대해 유효한 것으로 나타났다. 한편 PSA 는 국민안전처 내진설계기준 공통적용사항[42]으로부터, 건축물의 성능기 반 내진설계에서 흔히 접할 수 있는 조건인 2400년 재현기간에 대한 지진 구역계수 0.22, 지반종류 S₃에 대한 설계용 응답 스펙트럼을 가정하였다.

Fig. 21에 가정한 PSA와 MCS의 결과를 비교하여 보인다. 그림에서 알 수 있듯이 식 (43)은 가정한 PSA에 정합하는 FAS를 제공함을 알 수 있고, FAS-PSA 관계에 있어서 SD_5-75가 매우 중요함을 알 수 있다.

다음으로, E[t_gr]의 부호문제를 검토하기 위하여 같은 PSA에 대하여 E[t_gr]=8.0초, base-s_tgr=5.0초, C₁=4.0, C₂=0.0, f₂=6.0 Hz, f₃=10 Hz, f₄=50 Hz, Δt=0.01, N=2¹⁴, 각 방향 PGA비율 1:0.6 및 ϕ₀=0, Δϕ~N (0, s_tgr(ω))을 가정한 MCS의 결과와 E[t_gr]의 부호만 바꾼 결과를 Fig. 22에 함께 나타낸다. 그림에서 알 수 있듯이 Fig. 11과 Fig. 13에 보인 -E[t_gr]>0의 사례 (RSN 492)는 위상의 부호가 다르게 설정되어 생긴 것 으로 판단된다. 한편 MCS에 의한 SD_5-75는 5.6초로, 가정한 base-s_tgr=5.0 초와 유사한 결과를 얻었다. 그리고 그림에서 E[t_gr]의 값으로 설정한 ±8.0 초 ((a)의 경우 156초, (b)의 경우 8초) 주변에서 가속도 파형이 밀집해서 나 타나고 PGA도 이 시간의 근처에서 발생함을 알 수 있는데, 이는 2.3절에서 의논한 바와 같다.

Fig. 23에 위의 MCS를 위해 설정한 조건 중, base-s_tgr=1.0~8.0초, C₂=0.0~5.0, f₄=30 Hz로 바꾼 경우의 SD_5-75와 4~6 Hz 진동수 대역의 s_tgr 과의 관계를, V_s,30=150~350 ㎧에 속하는 기록 지진동으로부터 얻은 결과 와 비교하여 나타낸다. 그림에서 알 수 있듯이 제한된 가정을 이용했음에도 불구하고 MCS의 결과는 기록 지진동으로부터 얻은 결과를 대부분 재현 가 능한 것으로 나타났다. 또한, 특정한 값의 SD_5-75를 재현하기 위해서는 4 Hz~8 Hz 대역의 base-s_tgr이 중요하고, 10 Hz 이상의 높은 진동수 대역에 서의 위상의 분산특성이 SD_5-75에 큰 영향을 주는 것을 알 수 있다.

4. 결 론

지진동의 위상특성과 비정상성과의 관계를 이론적으로 고찰하고, 기록 지진동의 해석을 통해 지진동의 위상특성과 최대 지반가속도 및 계속시간 과의 관계를 파악하여, 다음과 같은 결론을 얻었다.

지진동의 위상특성을 위상차에 주목하여 검토한 결과, 위상각 및 위상차 의 확률론적 특성은 정규 확률변수로 나타낼 수 있고, 위상각 및 위상차의 확률분포는 확률변수의 구간을 (0,2π) 또는 (-π,π)로 제한할 경우 지금까 지 일반적으로 가정하였던 것과는 달리 원형 정규분포 또는 von Mises 분 포로 가정하는 것이 합리적임을 밝혔다. 또한, 위상차를 이용하여 정의한 군 지연시간의 평균 및 표준편차는 진동수에 의존하는 특성이 있고, 평균의 경우 장주기 표면파의 주기와 관련된 진동수 대역에서 지연시간이 늘어나 는 경우가 있음을 확인하였는데, 이런 경우 고층건물의 내진 성능과 부재의 항복 이후 구조물의 내진 성능에 영향을 줄 수 있음을 지적하였다. 한편, 표 면파는 P파와 S파의 상호작용으로 발생하고, 발생 여부가 지진의 규모에 의존하는 경향이 있으므로, 국내 내진설계에서 고려할 필요가 있는가에 대 해서는 별도의 검토가 필요하다. 그리고 표준편차는 특정 진동수 대역에서 다른 진동수 대역과 비교해 값이 작아지는 것을 확인했는데, 이러한 현상은 P파와 S파의 변형에너지 비율이 최소가 되는 진동수 대역과 매우 비슷함을 지적하였다. 이러한 상호 유사성에 대해서는 향후 추가 연구가 필요하다.

진동수에 의존하는 위상차의 분산특성은 지진동의 계속시간과 밀접한 관련성이 있고, 특히 4 Hz~8 Hz의 진동수 대역의 군 지연시간에 대한 표준 편차는 지진에너지의 누적비율 5%~75%를 나타내는 시간 SD_5-75와 최대 지반가속도와 밀접한 연관성을 갖는 것을 보였다. 그리고 10 Hz 이상의 진 동수 영역에서 나타나는 군 지연시간의 분산특성은 파동 전달경로의 비탄 성 감쇄와 관련 있으며, SD_5-75와 지반가속도의 크기에 영향을 주는 것을 확 인하였다. 따라서 위상의 분산특성을 통해 SD_5-75와 지반가속도의 크기는 서로 연관성을 갖고 있다고 말할 수 있다. 또한, 위상의 진동수 대역별 분산 특성에 대한 간단한 모델을 제시하고, 이 모델을 통해 포락 함수의 가정 없 이 지진동의 수평 2방향 지반가속도의 비정상성을 재현하고 계속시간을 조 절 할 수 있음을 보였다.

한편 지반가속도는 진원 거리에 따른 기하 감쇄와 경로 감쇄에 따라 변 화하므로 향후 위상특성과 이들 감쇄요인과의 관계에 대한 검토가 필요하 고, 확률론적 지진위험도 해석 (PSHA) 등을 위해서는 최대 지반가속도 이 외에 최대 지반속도와의 관련성에 대해 추가로 검토할 필요가 있다.