1.서 론

석탑관련 연구는 대부분 사회학적 관점에서 이루어져 왔으며, 최근 들어 공학적 관점에서 연구가 진행되고 있다. 석탑의 초창기 공학적 연구는 석탑 의 거동 특성을 파악하기 위한 수치모델 구성 연구가 주로 이루어졌다.

김재관 등[1]은 쌍계사 오층석탑 실물 크기 모형에 대하여 진동실험이 수행하였다. 예비시험에서 미소진동에 대한 고유진동수와 모드형상 등의 동특성이 추출되었고, 본 실험에서는 지진파 진동대 실험이 수행 되었다. 미소진동에서는 석탑은 외팔보의 거동을 보이지만, 진폭이 커짐에 따라서 그러한 거동특성은 사라진다고 보고하였다. 그러나 석탑 구조체에 대한 해 석적 연구는 수행되지 못하였다. 이성민 등[2]은 석축이나 석탑과 같이 다 수의 석재가 조적되어 구조물을 이루는 경우에 대하여 불연속 다자유도계 모델(Mass-spring model)과 연속 전단보(Shear beam) 진동계 모델의 고 유진동수와 실측 고유진동수를 비교하였다. 다자유도계의 차수가 높을수 록 전단보로 해석한 결과와 차이가 없음을 보였다. 이성민 등[3]은 석탑 구 조물을 불연속 다자유도계 이산 모델로 가정하고 실제 석탑 구조체에 대한 고유진동수를 계측하여 비교하고 석재 접촉면의 스프링 상수 추정 방법을 제안하였다. 또한 이성민 등[4]은 정림사지 5층석탑을 불연속 다자유도계 이산 모델로 가정하고, 석재 마찰면을 가상의 추가 사이부재로 모델링하여 총 29개의 자유도를 갖는 구조물로 모델링하였다. 산정된 고유진동수와 실 측된 고유진동수를 비교하여 석재 접촉부의 전단강성을 추정하였다. 다자 유도계 이산 모델은 석탑 구조형식에 대한 해석적 모델의 최초 제안이라 측 면에서 의미는 있으나, 제안 모델의 유효성 검증 결과는 신뢰도가 낮다. 왜 냐하면, 석탑의 해석모델과 실제 석탑의 고유진동수가 일치한다고 하여서, 항상 거동 특성이 일치한다는 가정은 충분하지 못하다. 수치 해석모델과 실 제 석탑 구조체의 동적거동이 일치하기 위해서는 고유진동수와 모드형상 이 모두 일치하여야 한다. 그러나 석탑의 모드형상에 대한 계측 확인이 수행 되지 못하였기 때문에 제안된 해석모델의 유효성 검증은 미흡하다.

최근 상용 개별요소법(Distinct/Discrete element method) 3DEC[5] 을 이용한 석탑의 구조해석 연구가 다수 수행되었다. 홍석일 등[6]은 미륵 사지석탑에 대한 구조해석을 수행하였고, 김효수 등[7]은 감은사지석탑에 대한 구조적 특성평가를 수행하였다. 김화수 등[8]는 고선사지 삼층석탑에 대하여 구조모형화 연구를 수행하였다. 홍석일 등[9]은 석재 시편의 전단실 험결과를 석탑모델의 석재 접촉부에 적용하여 석재면 거칠기에 따른 구조 거동 평가연구를 수행하였다. 김호수[10]는 불국사3층석탑, 정림사지 오 층석탑 및 고선사지 3층 석탑에 대하여 내진성능 검토 방안을 제시하였다. 김호수 등[11]은 석탑의 구조형식에 따른 내진거동특성을 분석하였다. 개 별요소법은 석재와 석재사이의 대변형 및 분리 등 불연속면 모델링 측면에 서 유한요소해석보다 매우 유리하다. 그러나 개별요소법은 요구되는 시뮬 레이션 계산량이 방대하다는 단점이 있다. 또한, 개별요소법은 석재간 마찰 계수 등의 추가 변수가 발생하는 단점이 있지만, 구성한 개별요소 수치모델 의 유효성이 검증된 후에는 다양한 수치 시뮬레이션이 가능하기 때문에 다 양한 분야에 적용되고 있다. 그런데, 상기 언급된 석탑관련 개별요소법 연 구들은 석탑의 구조모델에 대한 유효성 검증이 없이 이루어졌기 때문에 그 결과의 신뢰성이 낮다. 예를 들어 석재간 절리면을 단순히 Mohr-Coulomb 마찰 모델로 하였는데, 이는 석재사이의 미끄러짐(Sliding) 모드만 고려한 것이다. 그런데 지진시 조적된 강체들의 붕괴모드는 미끄러짐 모드와 록킹 (Rocking) 모드 모두 중요하다.

김병화 등[12]은 나원리 5층 석탑의 모형에 대하여 고유진동수와 모드 형상 등 동특성 추출 시험을 수행하였다. 석탑의 층간 마찰면에서 전단파 응 답 시간 지연이 발생하는 것과 근접 이중 모드를 최초 관찰 보고하였다. 여 기서, 근접 이중 모드라 함은 근접한 고유진동수의 모드형상이 유사한 경우 를 일컫는다. 그러나 적층식 석탑구조 형식이 갖고있는 근접 이중 모드를 설 명할 수 있는 모델을 제시하지는 못하였다.

본 연구는 김병화 등[12]의 후속 연구로서, 석탑구조 형식의 미소 거동 특성 중에서 근접 이중 모드를 설명 할 수 있는 수치 모델을 제안하고, 그 유 효성을 실험적으로 검증한다. 근접 이중 모드를 설명하기 위해서 석탑의 층 간 마찰면을 가상의 휨과 전단 자유도가 고려된 전단 보로 모델링하였고, 마 찰에 의한 자가가진 모델을 제안한다. 제안 모델의 검증을 위하여 실험실 규 모의 석탑 모형으로부터 획득된 동특성과 비교 검증하였다.

2.석탑의 미소 진동 모델

2.1.마찰층의 모델링

기존 문헌연구를 통해서 알 수 있듯이 석탑 구조의 가장 간단한 모델은 외팔보인 휨 모델과 이산형 전단 모델을 들 수 있다. 그러나 이러한 단순 모 델은 앞서 언급한 근접 이중 모드를 설명할 수 없다. 적층형 석탑 형식의 고 유 특성인 근접 이중 모드를 설명하기 위해서는 다양한 가설을 세울 수 있지 만, 본 연구에서는 석재 층간 마찰에 의한 자가가진 모드가 석탑 고유모드에 근접해서 발생한다고 가정한다.

Fig. 1과 같이 적층식 석탑의 개별층은 통석으로 구성되어 있다. 석재 층 간 마찰 변형의 크기는 통석자체의 미소 변형보다 매우 크다. 그러므로, 수 치해석의 간결성을 위해서 통석은 변형체보다는 강체로 모델링한다. 석재 의 층간 마찰면은 매끄럽지 않고 다수의 불규칙한 돌기로 구성되어 있으며, 슬립과 회전에 대해서 일정한 강성을 가지고 있다. 그러므로 석재 층간 마찰 층은 전단과 휨이 가능한 Timoshenko 보로 모델링 한다. 다만 석재의 마구 리 특성에 따라서 마찰층의 돌기 상태가 다르므로 전단 보의 전단강성, 휨강 성 및 길이는 시스템의 변수로 가정한다. 또한 마찰면의 질량은 충진된 석재 통석층 보다 현저히 작으므로 마찰층의 질량은 무시한다.

Fig. 2는 e번째 Timoshenko 보요소의 자유도와 내력을 보여준다. 여기 서, u 1 e 와 u 2 e 는 요소 축 직각변위를 나타내고, s 1 e 와 s 2 e 는 전단비틀림이 포함 된 단부의 회전변위를 나타낸다. 그리고 Q 1 e 와 Q 3 e 는 요소 축 직각방향 전단 내력을 나타내고, Q 2 e 와 Q 4 e 는 모멘트 내력을 나타낸다. Timoshenko 보의 전단잠금(Shear locking)현상을 해결하기 위해 Reddy[13]가 제안한 RIE(Reduced Integration Element)가 식 (1)에 보인다. 식 (1)은 석탑 층 간 마찰층에 대한 전단보의 요소 강성 행렬을 나타낸다. 여기서, 상수 E, G, I, A, K_s 및 l은 각각 휨강성, 전단강성, 단면모멘트, 단면적, 전단계수 및 보 요소 길이를 나타낸다.

Fig. 3은 i번째 층 통석을 모델링한 강체의 물체자유도와 전체 좌표계의 운동자유도(Kinematics)를 보여준다. 여기서, m_i와 G_i는 각각 i번째 층 통 석의 질량과 무게중심을 나타내고, 2b_i와 2h_i는 각각 i번째 통석의 폭과 높 이를 나타낸다. 그리고 U ¨ i 와 θ ¨ i 는 각각 i 번째 강체의 y방향 가속도와 각가 속도를 전체 좌표계로 나타낸 것이다. p_i와 q_i는 각각 i 번째 강체에 y방향과 회전방향으로 작용하는 외력을 나타낸다. Fig. 3a에 대해서 뉴턴 제2 법칙 을 적용하면, 다음과 같은 미분 방정식을 얻을 수 있다.

Fig. 3b에서 강체와 전단보가 만나는 절점의 위치를 N₁과 N₂로 표시하 였다. N₁과 N₂에서의 y 방향 변위와 회전각을 강체 무게중심의 변위와 회 전각의 항으로 표기하면 다음과 같다.(5)(6)

식 (1)에 정의된 내력들을 식 (2)와 식 (3)에 대입하고, 국부 좌표계로 되 어 있는 보요소 단부의 기본변수들(Primary variables; u 1 e , u 2 e , s 1 e , s 2 e)을 식 (4)에서 식 (7)에 보이는 강체 중심의 운동자유도로 대치 하면 다음과 같은 미분방정식을 얻을 수 있다.

여기서, k i j e 는 식 (1)에 보이는 e번째 요소 강성행렬에서 i번째 행과 j번째 열 의 강성항을 나타낸다. n층 석탑에 대하여, i=1, …, n 이며, i < 0 거나 i >n인 경우에 U_i = θ_i = 0이다. 석탑을 이루는 통석에 대하여 식 (8)과 식 (9)를 연 속적으로 적용하고, 지반의 경계조건을 적용하면 다음과 같은 연립 미분방 정식을 얻을 수 있다.

여기서, 행렬 M, C, K는 각각 질량, 감쇠, 강성을 나타내는 전체 시스템 행 렬이다. 그리고 Rayleigh 감쇠 행렬은 다음과 같다.(11)

그리고, n층 석탑에 대한 변위벡터 z와 외력벡터 f는 다음과 같다.(12)(13)

2.2.수치 시뮬레이션

식 (10)은 휨과 전단이 고려된 수치모델이다. 본 연구에서는 적층식 석 탑 구조체의 지배거동은 로킹보다는 슬라이딩으로 본다. 이는 국내 대부분 의 적층식 석탑의 개별 층에 대한 폭 대비 높이의 비율이 마찰면 정지마찰 계수보다 크기 때문이다(b/h > μs). 그리고 근접 이중 모드는 층간 마찰에 의한 자가가진(Self excitation) 때문에 발생 되는 것으로 가정한다.

식 (10)의 일반해는 다음 식으로 기술 할 수 있다(14)

여기서, z_s와 z_f는 각각 제차해(Homogeneous solution)와 비제차해 (Nonhomogeneous solution)를 나타내고 상응하는 지배방정식은 다음과 같이 기술할 수 있다.

마찰에 의한 자가가진을 다음과 같이 선형으로 정의하자.

식 (17)을 식 (16)에 대입하면, 질량행렬은 공유하지만, 강성과 감쇠행 렬이 다른 시스템을 이룬다.

여기서,(20)

식 (15)와 식 (18)에 보이는 두 개의 시스템은 다음과 같이 하나의 시스 템의로 구성 할 수 있다.

여기서,

식 (21)의 시뮬레이션은 수치적분으로 얻을 수 있는데, 기존 문헌에 다 양한 방법들이 제안되어 있다. 일반적으로 미분 차수가 낮을수록 수렴 안정 성이 높으므로 식 (21)에 보이는 2계 상미분 연립방정식을 변수치환을 이 용하여 1계 상미분 연립방정식으로 치환한다. 치환된 시스템은 상태공간 표현(State space representation) 방식로 알려져 있으며, 다음과 같다.

여기서,(25)

여기서 행렬 E는 특정 상태변수만 출력하고자 하는 경우에 설정하는 행렬 을 나타낸다.

3.석탑의 동특성 추출

3.1.실험개요

Fig. 4와 같이 5층 석탑 모형에 대하여 동특성 실험이 수행 되었다. 석탑의 제원은 Table 1에 보인다. 충격망치를 이용하여 5층 석탑 통석의 수평 모드 가 가진 되었다. 샘플링 주파수는 2000 Hz이고, NI (National Instrument) 사의 데이터로거와 Labview Software 가 사용되었다. 석탑의 각 층별 수 평 가속도 응답신호가 각 층에 부착된 가속도계에서 수집되었다.

Fig. 5는 계측된 가속도의 시간이력과 스펙트럼을 보여준다. 시간이력 을 살펴 보면 최대 가속도는 충격이 가해진 5층에서 발생하였다. 또한, 가속 도 시작점을 자세히 관찰해보면 층별 응력파의 전단지연이 관찰된다. 스펙 트럼을 살펴보면 충격망치에 의해서 저차모드 4개 정도가 가진된 것을 알 수 있다.

3.2.동특성 추출

계측된 가속도 시간이력에 대해서 TDD (Time Domain Decomposition) 기법[14, 15]이 적용되었다. 추출된 고유진동수와 감쇠비는 Table 2에 보 이고, 추출된 모드형상은 Fig. 6에 보인다. 김병화 등[12]의 선행연구에서 관찰된 근접 이중 모드가 관찰 된다. 1차모드와 2차모드는 거의 동일하고, 2 차모드와 4차모드가 매우 유사하다. 계측된 1,2차 모드는 일반 연속체 모 델인 외팔보 모델이나 이산형 전단 모델의 1차 모드형상과 동일하다. 그리 고 계측된 3, 4차모드는 외팔보의 전형적인 2차모드 형상임을 알 수 있다.

4.시스템인식

4.1.목적함수

시스템인식은 계측된 고유진동수와 모드형상이 제안된 수치모델의 고 유진동수와 모드형상이 일치하도록 수치모델의 시스템 변수를 찾는 것이 다. 석탑 진동 모델의 시스템인식을 위하여, 민감도 기반 시스템인식기법 [16]이 확장 적용되었다. 기존의 민감도 기반 시스템인식기법은 목적함수 로서 고유진동수만을 다루었으나, 본 연구에서는 모드형상도 목적함수로 추가하는 방안을 제시한다.

인식하고자 하는 시스템의 목적함수 β는 다음과 같이 정의한다.(26)

여기서 f_i는 i번째 고유진동수를 나타내며, 아래 첨자 n_f는 시스템 인식에 쓰이는 고유진동수의 개수를 나타낸다. 고유진동수는 스칼라 값(Scalar value) 이라서 최적화를 위한 목적함수로 쉽게 적용이 가능하지만, 모드형 상과 같은 벡터는 목적함수로 사용하기 어렵다. 이러한 문제를 해결하기 위 하여 다음 식에 보이는 모드형상의 MAC (Modal Assurance Criterion)값 을 이용한다.(27)

MAC 값은 벡터 ϕ_i와 벡터 ϕ_j가 얼마나 닮았는가를 정량적으로 나타내 는 상호상관의 일종으로서 ‘1’에 가까울 수록 두 벡터는 닮았다고 할 수 있 다. 그러므로 석탑 모형으로부터 계측된 모드형상과 제안 수치모델의 모드 형상 사이의 MAC값이 일치하도록 식 (19)에 보이는 시스템 목적함수에 단위 숫자 ‘1’를 도입하였다. 시스템 인식에 사용하는 모드형상의 개수가 n_s인 경우에 목적함수로 사용하는 총 개수는 n_t = n_f + n_s라고 하자.

4.2.시스템 변수

고유진동수와 MAC 값으로 이루어진 목적함수에 영향을 미치는 변수 들은 다양하다. 각 층별 전단보의 휨강성 ( E I l ) 과 전단강성 ( G A K s l ) 그리 고 전단보의 길이(l)는 명백히 미지수이다. 반면, 강체의 질량, 폭, 높이 등 은 계측 가능하다고 가정한다. 시스템 인식 변수벡터 τ는 다음과 같이 정의 한다.

여기서, 각 항목의 아래 첨자는 석탑의 층수를 나타낸다. 그러므로 총 n층 석 탑은 마찰층마다 3개의 미지수가 있으므로 식 (21)에 보이는 인식벡터의 길 이는 n_υ = 3n이 된다. 식 (19)에 보이는 목적함수 벡터는 식 (22)에 보이는 인식변수 벡터의 함수이다. 그러므로 인식변수벡터의 단위 변화율에 대한 목적함수벡터의 변화율은 다음과 같은 민감도 방정식으로 기술할 수 있다.

여기서, 벡터 g와 η는 각각 목적함수와 인식변수의 변화율을 나타내고 다 음과 같이 정의 된다.(31)

여기서, β_i는 식 (19)에 보이는 목적함수벡터의 i번째 항목을 나타내며, τ_i 는 식 (28)에 보이는 인식변수벡터의 i번째 항목을 나타낸다. 그리고 식 (29)에 보이는 민감도 행렬 F는 다음과 같다.

민감도 방정식 (29)는 Kim 등[17]이 제시된 반복 해법에 의해서 시스템 변수를 산정 할 수 있다. 반복법의 다음 여섯 가지 절차를 따른다. 첫째, 식 (28)에 보이는 인식벡터의 초기치를 가정한다. 둘째 식 (32)의 민감도 행렬 을 변분법(Theory of variation)을 이용하여 산정한다. 셋째, 민감도 벡터 의 의사 역행렬(Pseudo inverse matrix)을 다음 식으로 산정한다. 여기서 ∈ 는 수렴 속도를 결정 짓는 임의 상수행렬이다.(33)

넷째, 식 (30)을 이용하여 목적함수 벡터의 변분을 산정한다. 다섯째, 다 음 식을 이용하여 인식변수 변화율 벡터를 산정한다.

마지막으로 인식변수 벡터를 다음 식을 이용하여 개선한다.(35)

여기서 위 첨자는 반복 횟수를 나타내고, η_i 는 식 (34)에서 산정된 인식변수 변화율 벡터의 i항목을 나타낸다. 상기 여섯 가지 절차를 인식변수변화율이 영으로 수렴 할 때까지 반복한다.

4.3.시스템인식 결과

계측된 4개의 모드 중에서 1차와 3차 모드는 고유모드로 가정하고, 식 (15)에 보이는 제차 시스템을 구성한다. 그리고, 2차모드와 4차모드는 자 가가진 모드로 식 (18)에 보이는 비제차 시스템을 구성한다. 여기서, 응답 스펙트럼으로부터 관찰되는 근접 이중 모드로부터 고유모드와 자가가진 모드의 구분은 불가하다. 다만, 여러가지 조합을 가정하여 시스템인식 절차 를 반복 수행하고, 각각의 인식수렴도를 확인함으로써 고유모드와 자가가 진 모드의 구분이 가능하다.

두 시스템들은 질량행렬은 공유하지만 강성행렬에 일정한 차이가 있다. 두 개의 시스템에 대하여 앞서 서술된 민감도 기반 시스템인식 절차를 각각 적용 하였다. 이때 전단강성, 휨강성 및 요소길이의 초기치는 각각 1×10⁶N/m, 1×10⁵Nm 및 1×10^-4m로 설정하였다. 여기서, 초기치의 설정은 1차 고 유진동수만을 목적함수로 하는 3개의 인식변수가 모두 수렴되는 값의 일정 범위에서 임의로 특정하여 선정하였다.

Table 2는 계측된 고유진동수와 목적함수의 수렴치 비교를 보여준다. 수렴된 고유진동수와 모드형상의 MAC 값이 계측치와 잘 일치하고 있다. Table 3은 인식변수 벡터의 수렴 값을 보여준다.

4.4.시뮬레이션 결과

Table 3에 보이는 시스템변수를 이용하여 식 (21)에 보이는 전체 거동 시스템을 구성하였다. 5층 수평 가진 임펄스(Impulse)에 대하여 식 (23)과 식 (24)에 보이는 상태공간 방정식을 구성하고 4차 Runge-Kutak 수치 적 분이 수행 되었다. 가속도가 부착된 위치에서 시뮬레이션된 가속도응답의 시간이력과 스펙트럼이 Fig. 7에 보인다. Fig. 5에 보이는 계측치와의 비교 할 때 매우 잘 일치한다.

시뮬레이션된 시간이력 데이터에 대하여 TDD 기법을 이용하여 동특성 이 추출 되었다. 추출된 고유진동수와 모드형상이 Fig. 8에 보인다. Fig. 6 에 보이는 계측치와 비교할 때 모드형상이 정성적으로 매우 잘 일치한다. 모 드형상의 상호일치성에 대한 정량적 평가는 Table 3에 보이는 MAC 값으 로 가능하다. 계측 모드형상과 시뮬레이션된 모드형상 사이의 MAC 값이 1,2,3차모드는 1에 매우 가깝다. 그러나 4차모드는 0.9보다 작은데 이는 4 차모드의 가진이 충분하지 못하여 추출된 4차 모드형상의 1층 값의 계측 오 차 때문인 것으로 판단 된다.

5.요약과 결론

적층식 석탑의 미소 진동 거동에서 관찰되는 근접 이중 모드를 설명하기 위한 수치모델이 제안되었다. 제안 모델은 석탑의 층간 마찰면을 전단과 휨 이 가능한 Timoshenko 보로 모델링하고, 각 층의 통석은 강체로 모델링한 다. 근접 이중 모드는 석탑의 고유모드와 층간 마찰에 의한 자가가진 모드의 선형 조합으로 이루어진다는 가정하에 수치 시뮬레이션을 위한 상태공간 시스템이 구성되었다. 제안된 수치모델의 유효성 검증하기 위하여 5층으 로 구성된 적층식 석탑 모형에 대하여 동특성 추출 실험이 수행되었고 고유 진동수와 모드형상이 추출 되었다. 민감도기반 시스템인식기법을 확장 적 용하여 계측된 동특성치와 제안된 수치모델의 동특성치가 일치하게 만드 는 시스템변수를 인식하였다. 인식된 시스템변수를 이용한 제안 모델의 미 소 진동 거동은 실측치와 잘 일치하였다.

본 연구의 실험 및 수치연구 결과로 적어도 다음 세 가지 결론에 이른다. 첫 째, 석재와 석재사이의 마찰면은 전단과 휨거동이 모두 가능한 Timoshenko 보요소로 모델링하는 것은 유효하다. 둘째, 적층식 석탑의 근접 이중모드는 석탑의 고유모드와 층간 마찰에 의한 자가가진 모드의 선형조합으로 표현 될 수 있다. 셋째, 민감도 기반 시스템인식기법의 적용시, 모드형상과 같은 벡터량을 목적함수로 활용할 경우에, 벡터의 상호상관 스칼라 값을 이용하 여도 수렴된다.