1.서 론

20세기 이후, 급증하는 인구와 비례하여 인구, 물류의 대량수송과 신속 성에 대한 요구가 증가하고 있다. 이런 요구에 충족하기 위하여 철도의 개발 이 활발히 진행되고 있다. 프랑스, 일본, 스페인 등 세계 각국은 철도분야에 있어서 경쟁적으로 개발을 하고 있으며 특히 고속철도분야가 치열한 경쟁 을 보이고 있다. 우리나라에서도 20세기 후반 국가정책사업의 일환으로 고 속철도분야에 개발을 시작하였으며, 2004년 4월1일부터 서울에서 부산까 지 고속열차 운행을 시행 하였다. 철도교의 형식은 그동안 보수적이고 획일 적인 틀에서 크게 벗어나지 못하고 있었으나 최근 열차의 승차감, 주행안전 성 그리고 교량의 동특성 등의 검토를 통하여 정량적인 기준을 만족하는 여 러 형태의 교량이 만들어 지고 있다. 한편 아치교는 곡선을 띄고 있어 곡선 의 아름다움을 표현할 수 있으며 그 지역의 랜드마크로서 역할도 할 수 있 다. 미학적인 측면뿐만 아니라 타이드 아치교의 경우, 아치의 수평반력을 타이(tie)로 받게 한 것으로 지점부에서는 연직반력만 생기게 된다. 그럼으 로 수평반력이 기초지반에 크게 작용하지 않게 됨으로 지반상태가 양호하 지 않은 곳에서도 사용할 수 있는 구조적 장점도 있다. 한국 철도설계기준 (노반편)에는 중앙경간120 m 이상의 철도교의 경우, 상호작용해석을 통한 면밀한 검토가 필요하다고 언급되어 있으며 공진에 대한 면밀한 검토가 필 요하다[1]. 2001년 김천에 완공된 모암고가교는 고속철도교 중 타이드 아 치형식을 한 세계최장경간(125 m)의 교량으로 국내에도 다양한 형식의 장 경간의 철도 교량이 계속해서 생겨날 것으로 예상된다.

고속철도교와 열차의 동적상호작용해석에 관한 기존연구는 일반적인 거더교나 장지간의 케이블교량이 주를 이루고 있으나 본 연구에서는 더욱 다양한 형식의 교량과의 동적상호작용해석을 수행하고자 장경간의 아치교 와 열차의 동적상호작용해석을 수행한다. 그리고 두 가지 공진 조건을 이용 하여 변위 및 가속도 응답의 공진여부를 밝혀내며 최대응답을 일으키는 원 인 조사에 초점을 둔다. 대상교량은 120 m 경간장을 갖는 3차원 타이드 아 치교 모델을 사용하였고, 교량의 중심에서 2 m 편심을 주어 열차를 운행함 으로 교량의 2차원 거동뿐만 아니라 3차원거동의 영향까지 살펴본다. 대상 열차는 경부고속철도 열차의 정규편성을 대상으로 동력차(2량), 동력객차 (2량), 객차(16량) 총 20량을 사용하였다. KTX열차를 대상교량에 속도 100 km/h ~ 500 km/h 까지 10 km/h 간격으로 운행할 때 발생하는 응답을 동적상호작용해석을 통하여 구하며, 속도에 따른 교량의 최대응답을 정리 하여 속도변화에 따른 교량의 최대응답을 확인한다. 공진에 대한 영향을 알 아보기 위하여 두 가지 공진조건을 사용하며, 첫 번째 공진 조건은 열차의 유효타격에 의한 진동수와 교량의 고유진동수가 일치하는 경우이고, 두 번 째 공진 조건은 열차의 가진 진동수와 교량의 고유진동수의 비를 나타내는 β_n이 공진범위(resonance range)에 속하는 경우이다. 위의 두 조건을 이용 하여 상호작용해석으로부터 교량의 변위 및 가속도응답의 공진발생 현상 을 조사한다. 그리고 기존연구에서는 고차모드의 영향으로 인한 가속도응 답에 대한 고찰이 부족하다. 그리하여 본 논문에서는 복잡한 가속도응답 거 동의 원인 및 가속도응답의 증가를 야기 시키는 속도대역을 밝혀내기 위하 여 시간이력분석 및 FFT분석을 사용하고 그 원인을 밝혀낸다.

2.해석 이론

교량과 열차 각각의 운동에너지, 포텐셜에너지를 구하고, 동적응답해석 방법으로 라그랑쥐 방정식을 이용하여 3차원 교량-열차의 상호작용해석을 위한 운동방정식을 유도한다. 여기서, 모드중첩법 적용을 위하여 일반화된 교량의 운동방정식을 고려하고, 실제 한국형 고속철도인 KTX의 3차원 회 전, 병진운동을 고려할 수 있는 열차의 운동방정식을 제시한다.

2.1.교량 운동방정식

열차와 교량의 동적 상호작용해석을 하기 위하여 교량과 열차의 질량, 감쇠, 강성행렬을 사용한다. 교량 행렬운동방정식의 정확성과 경제성을 위 해 모드중첩법을 사용하여 교량의 질량, 감쇠, 강성행렬을 만든다. 이와 같 은 방법의 다른 장점은 교량의 고유진동수와 모드형상만 알고 있으면 교량 의 행렬운동방정식을 만들 수 있다는 점이다. 이를 위하여 상용프로그램 을 이용하여 쉽게 교량의 고유진동수와 모드형상을 추출할 수 있다. 다음 식 (1)은 교량의 운동방정식이다.

여기서 [M_b], [C_b], [K_b], {F_b}, {z_b}는 각각 교량의 N×N 질량행렬, 감쇠 행렬, 강도행렬, 그리고 교량에 가해지는 N×1하중벡터, 절점 자유도 벡터 이다. 자유진동해석을 통하여 고유진동수 ω와 모드형상을 구할 수 있으며, 이때 교량의 변위 z_b는 아래와 같이 모드형상 Φ_i과 일반화된 좌표q_i의 곱으 로 나타낼 수 있다.

여기서 {Φ_i}는 N×1크기의 i번째 모드형상을 나타내며, 식 (1)에 식 (2)를 대입하고, 양변에 [Φ_i]^T을 곱하여 모드의 직교성을 이용하면 식 (3)과 같이 n차 모드에 대한 일반화된 좌표의 운동방정식으로 나타낼 수 있다.

여기서 ξ_i는 i번째 모두의 비례감쇠계수 그리고 q̈, q̇, q는 각각 일반화된 좌표의 가속도, 속도, 변위를 나타낸다.

2.2.열차 운동방정식

KTX 열차는 동력차(2량), 동력객차(2량), 객차(16량) 총 20량으로 이 루어져 있으며 최대 승객이 탑승한 만차 시에는 약 620 ton에 달한다. 동력 객차의 경우 연행되는 객차와 관절형의 연결대차를 서로 공유하며 객차의 경우 앞과 뒤에 연행하는 객차 혹은 동력객차와 관절형 대차로 연결되어 있 다. 동력차의 경우는 연행되는 동력객차와 분리되어 이어지는 뒤의 열차에 대해서 진행방향으로 힘을 전달하는 역할만을 수행한다. 열차의 행렬운동 방정식을 만들기 위해 적용한 KTX열차의 동력차 부분만 표시하면 Fig. 1 과 같으며, 차량의 제원, 질량 및 강성계수를 Table 1에 정리 하였다.

각 열차가 가지는 질량 및 관성모멘트로부터 운동에너지 T를 구성하고 현가장치의 상대적인 운동 변위량에 따라 위치에너지 V 및 감쇠에너지 D 를 구성한다. 아래는 동력차의 에너지 식들을 나타낸다.

여기서

아래첨자 c, b, a는 차체, 보기, 윤축을 의미하며 x, y, z, θ 는 각 방향에 대 한 변위 및 회전을 의미한다. m, I 는 각각 질량 및 관성모멘트를 의미하며, K, C 는 각각 스프링, 댐핑 상수를 의미한다. P_k는 열차의 자유도에 해당하 는 변수이며, 아래첨자 k는 열차의 총 자유도 개수이다.

식 (4~6)으로 구한 에너지식을 라그랑쥐 식 (7)을 이용하여 열차의 행렬 운동방정식 (8)을 생성한다[2, 3].

2.3.동적 상호작용해석

동적상호작용해석을 수행하기 위하여 가장 먼저 바퀴-레일 사이가 항상 접촉하고 있다는 가정을 한다[4]. 이 가정에 기초하여 바퀴와 그 지점의 레 일의 수직변위를 일치시킬 수 있고, 결과적으로 열차 윤축의 자유도를 줄일 수 있다. 그리고 교량과 열차의 응답을 구하기 위하여 반복법을 사용하며 그 흐름도는 Fig. 2와 같다.

식 (9)에서 차량의 상호작용력{F_υ}는 교량의 응답으로 이루어져 있으 므로 교량의 응답을 가정함으로써 차량의 운동방정식을 풀 수 있다. 차량의 운동방정식에서 구한 차량의 응답과 앞에서 가정한 교량의 응답을 이용하 여 교량의 상호작용력 {F_b}를 구할 수 있고, 교량의 운동방정식 또한 풀 수 있다. 이런 동일과정을 허용오차 0.1%에 들 때 까지 반복하여 수행한다.

2.4.이동연행하중에 의한 단순보의 응답

철도교량은 일정한 유효타격거리를 가진 열차가 지나가기 때문에 공진 에 대한 검토가 필요하다. 이를 위하여 일정한 축 간격을 가진 연직하중이 단순보를 지나갈 때 교량의 처짐과 가속도를 수식으로 나타내고 각각 수식 이 최대가 되는 공진조건을 제시한다. Fig. 3은 동일한 이동 연행하중이 단 순보를 지나갈 때를 모사한 것이다.

L_b는 교량전체 길이, d_υ는 연행하중의 간격, P는 연행하중, V는 이동하 중의 속도, N은 전체 하중의 수, m은 단위길이 당 질량, EI는 교량의 휨강 성, y는 교량의 처짐을 나타내는 경우에 연행 이동하중을 받는 단순보에 대 해 식 (10)와 같이 운동방정식을 세울 수 있다.

식 (10)을 일반화된 좌표와 모드형상을 이용하여 모드중첩법으로 나타내 고, 교량의 고유진동수를 ω_i로 나타내고, 그리고 Duhamel integration을 이용하여 정리하면 교량의 처짐은 식 (11), 가속도는 식 (12)과 같다[5].

여기서

교량의 변위와 가속도응답을 나타내는 식 (11)과 식 (12)이 최대가 되는 조건을 이용하여 두 가지 공진조건을 제시한다. 첫 번째 공진 조건은 열차의 유효타격과 교량의 고유진동수가 일치하는 경우로 다음 식 (15)와 같다.

두 번째 공진조건은 열차의 가진 진동수와 교량의 고유진동수가 일치하 는 경우이다. 위 식 (11)과 식 (12)는 단순보에서의 응답을 나타내며, Ju and Lin[6]는 아치교의 거동이 복잡하여 수식화 하는 것이 어려우므로 단순교 의 응답 식을 사용하여 아치교의 동적거동을 살핀다고 했다. 그리고 식 (14) β n = n π V L b ω n 에서 n은 단순보의 n번째 모드를 의미하며, 일반적으로 단순 보에서는 교량의 동적거동에 가장 큰 영향을 미치는 교량의 첫 번째 고유진 동수를 사용하여 β 1 = π V L b ω 1 를 사용한다. 하지만 아치교의 경우, 교량의 첫 번째 모드형상이 단순보의 2차 모드와 동일하므로 β₁은 2 π V L b ω 1 과 같다. β₁ 은 열차의 속도에 따라 변하는 값으로 1에 가까워지면 식 (13) Ψ_n은 무한대 로 발산하게 된다. 하지만 일반적으로 β₁값이 다음의 공진범위 들어갈 때 공진발생의 위험이 있다.

그리고 식 (12)에서 가속도응답은 변위응답에는 없는 ω n 2 항에 의하여 고 차모드의 영향이 클 것임을 예상할 수 있다.

3.해석예제

대상 교량은 고속철도 아치교로 중앙지간 120 m이다. 주요 재원은 다음 Table 2와 같이 총 7개의 부재로 이루어져 있다. 대상아치교는 2개의 아치 리브와 10 m 간격의 기둥으로 이루어져 있다. 기둥을 제외한 모든 요소들 은 빔요소를 사용하였고 기둥은 축력만이 작용하는 트러스요소를 사용하 였다. 주거더는 아치리브의 양끝단과 강절로 연결하였고, 아치리브와 마찬 가지로 2개가 사용되었다. 그리고 브레이싱은 주거더의 수평력에 대해 저 항하기 위해 만들어졌다. 주거더와 아치리브를 가로지르는 가로보의 연결 은 강절로 이루어져 있다. 대상 아치교의 힘의 흐름은 열차하중, 세로보, 가 로보, 주거더, 기둥, 그리고 아치리브의 순서로 이루어진다. 아치교의 중요 한 요소 중 하나인 라이즈비(아치 중앙지점의 높이와 지간의 비)는 1:5를 사 용하여 거더에서 아치리브 최상단까지의 높이는 24 m이다. 교량 전체 폭은 12 m로 KTX열차 2대가 서로 교차하여 통과 가능한 폭으로 설정하였다. 사용 강재는 SM520를 사용하였고, 탄성계수는 2.06×10¹¹ N/m ²를 사용하 였다. 교량의 모두중첩 시 감쇠비는 철도교 기준에 제시된 강구조 형식의 경 우 0.5%로 제시되어 있으나, 실측을 통한 연구결과 1%이상의 감쇠비를 확 보하고 있는 것으로 보고되고 있으므로, 본 연구에서는 감쇠비를 1.3%로 가정한다. [6] Fig. 4

3.1.자유진동 해석

대상 아치교의 고유치 해석을 수행하기 위하여 상용프로그램 MIDAS를 이용하여 모델링을 하였고, 구조물 거동 특성에 맞는 고유치를 얻기 위해 규 모가 큰 유한요소 시스템의 고유치 해석을 수행하는데 있어 매우 효과적으 로 알려져 있는 부공간 반복법(subspace iteration)을 이용하였다. Table 3 에 면내모드, 면외모드를 구분하여 고유진동수를 제시하였고, Fig. 5과 Fig. 6 에 각각 대응하는 모드형상을 도시하였다.

3.2.속도증가에 따른 교량의 변위 및 가속도 응답분석

교량의 운동행렬방정식을 만들기 위하여 모드중첩법을 사용하였으며, 고려할 모드 수는 충분히 많은 N개의 모드를 고려한 해석결과와 N+1개의 모드를 고려한 해석결과의 비교를 통하여 1%이내의 오차를 보이는 200개 모드(면내모드 131, 면외모드 69)를 사용하였다. 속도에 따른 최대 수직변 위 및 가속도 응답을 Fig. 7과 Fig. 8 에 나타내었다.

교량의 3차원거동을 확인하기 위하여 속도에 따른 최대 수평변위 및 가 속도 응답을 Fig. 9, Fig. 10 에 나타내었다. 수직변위 및 가속도에 비하여 수평변위 및 가속도는 매우 작게 나타나고 있음을 확인 할 수 있다. 최대 수 평변위는 440 km/h에서 약 4 mm, 최대 수평가속도는 약 0.3 m/sec ²이다. 그러므로 대상교량에 열차의 편심주행으로 인한 교량의 3차원효과는 매우 미미하다고 판단된다. 그러나 풍하중이나 지진하중과 같은 수평방향에 대 한 추가적인 하중이 있을 경우, 3차원거동은 더욱 커져 동적거동에 주요한 요소가 될 수 있다. 본 연구에서 3차원효과가 미소하므로 면외방향 응답을 제외한 면내방향의 응답에 대하여 집중적으로 검토한다.

3.3.변위응답을 통한 공진현상 분석

첫 번째 공진조건 식 (15)를 이용하여 공진유발속도를 다음 식 (17)과 같 이 구할 수 있다. 처짐의 경우, 교량의 첫 번째 고유진동수가 교량의 동적거 동을 지배하기 때문에 식 (17)에 첫 번째 고유진동수f₁을 사용한다[7].

KTX열차의 유효타격거리 d_υ는 18.7 m, 교량의 첫 번째 면내방향 고유 진동수는 1.535(cycle/sec), j=1일 때, 공진유발속도 103 km/h이다. 여기 서 j=2,3... 로 더 커질 경우, 공진유발 속도는 더욱 느려져 연구대상 속도에 서 벗어나게 된다. 공진유발속도의 근접 속도인 100 km/h ~ 130 km/h에서 의 정적 처짐과 동적처짐을 비교한 그래프를 Fig. 11 ~ Fig. 14 로 나타내었다. Fig. 12, Fig. 13

100 km/h, 110 km/h에서 열차의 유효타격이 일정하게 작용하는 시간 에서 동적처짐이 정적처짐 보다 확대됨을 확인 할 수 있다. 그리고 공진유발 속도에서 멀어질수록 정적처짐과 비슷한 거동을 보이는 것을 확인할 수 있 다. 그리고 처짐의 최대 및 최소가 되는 지점의 동적처짐 및 정적처짐의 차 이가 그리 크지 않음을 확인 할 수 있고, 이는 KTX열차의 유효타격거리 (18.7 m)로 구할 수 있는 공진소멸지간(121.55 m)이 대상교량의 지간과 비슷하여 자유진동 증폭이 작기 때문이다. 교량의 동적거동을 상세히 확인 하기 위해서는 공진유발속도 대역에서 시간이력분석이 필요하다. Fig. 15 는 교량의 충격계수를 나타내며 충격계수는 철도설계기준(노반편, 2011) 에 따라 식 (18) 과 같이 계산되었다. 충격계수는 정적설계 시 열차의 동적 충격효과를 고려하기 위하여 열차의 표준열차하중에 곱해주는 계수로 동 적영향의 크기를 나타낸다[8].

열차속도 450 km/h에서부터 충격계수가 급격하게 증가하기 시작하며 480 km/h에서 최대값을 가진다. 이는 두 번째 공진조건 식 (16)에 의한 동 적증폭현상이며, 식 (13)에 있는 동적 증폭계수 1 1 − β 1 2 이 무한대로 발산함 으로 일어나는 현상이다. 일반적으로 두 진동수비 β₁가 0.7~1.4이 되면 공 진이 발생할 수 있으며 공진범위라고 한다. 최대 처짐 및 최대충격계수를 보 이는 속도 480 km/h에서 두 진동수의 비 β₁은 0.7241로 공진범위 안에 들 어가게 된다. 속도에 따른 β₁을 Table 4에 정리하였으며 급격한 변위의 증 가를 보이는 450 km/h에서의 면밀한 검토를 위하여 변위 시간이력그래프 를 Fig. 16에 나타내었다.

대상교량이 공진소멸지간을 가졌음에도 불구하고 β₁ 의 값이 공진범위 에 들어감에 따라 전 구간에 걸쳐 정적처짐에 비하여 동적처짐이 훨씬 커짐 을 확인할 수 있다.

3.4.가속도응답을 통한 공진현상 분석

변위응답의 경우, 교량의 첫 번째 고유진동수가 동적 거동에 지배적인 영향을 미친다. 하지만 가속도응답의 경우, 식 (12)의 ω n 2항에 의하여 교량 의 첫 번째 고유진동수 뿐만 아니라 고차모드의 영향 역시 크다. Fig. 17 는 Fig. 8에서 주변속도대역 보다 큰 응답을 보이고 있는 260 km/h과 그 주변 속도인 250 km/h에서의 가속도응답 비교이다. 속도가 다른 두 시간이력 그래프를 비교하기 위하여 x축을 시간에서 열차의 첫 번째 바퀴의 위치로 바꿔, 열차의 첫 번째 바퀴의 위치에 따른 교량의 응답을 나타낸다. Fig. 17 (a)는 두 속도대역에 대한 전체 시간이력 가속도 그래프를 나타며, Fig. 17 (b)는 260 km/h에서 가속도 증폭이 일어나는 구간을 자세히 알아보기 위 하여 확대한 것이다.

210 m 지점에서는 가속도 응답의 차이가 약 3배가량 증폭됨을 확인할 수 있다. 가속도 응답은 일반적으로 고차모드의 영향이 크며 그 양상이 복잡 하다. 참여된 진동수대역을 확인하여 가장 주요한 진동수 대역을 찾기 위해 FFT분석을 한다.

Fig. 18은 250 km/h와 260 km/h에서의 가속도응답의 FFT분석결과 이 다. 260 km/h에서 26 Hz 부근에서 가장 높은 진폭값을 보이고 있으며 이는 250 km/h에서의 최대값 보다 2배가 넘는 수치이다. 그로써 260 km/h에서 의 가속도응답의 증가는 26 Hz부근의 주파수의 영향이 가장 큼을 의미한 다. 이러한 현상을 첫 번째 공진조건인 교량의 고유진동수와 열차의 가진진 동수 일치 조건에 근거하여 살펴보면, 교량의 57번째 고유진동수 26 Hz와 j가 6일 때, 가진 진동수( jV/d_υ) 26 Hz의 일치로 그 주파수의 진폭이 최대 값을 가지게 되고, 그로인해 가속도응답의 증가가 이루어 졌다. 동일한 방 법으로 Fig. 8에 표시한 공진의심 속도대역170 km/h, 200 km/h, 290 km/h, 360 km/h, 440 km/h 에서 가속도응답 시간이력 그래프와 FFT분석 을 통하여 가속도 응답의 분석을 한다. Fig. 19, Fig. 20은 각각 가속도시간 이력그래프와 FFT분석 그래프를 나타낸다.

공진의심속도 대역의 가속도 시간이력과 그 근접 속도대역의 가속도 시 간이력의 비교 결과, 일정한 유효타격이 작용하게 되는 구간에서 응답이 약 2~3배가량 확대되는 것을 확인 할 수 있다. 그리고 가속도응답에 참여된 진 동수대역을 확인하기 위하여 가속도응답의 FFT분석 그래프이다.

가속도응답의 FFT결과, 근접 속도대역보다 큰 응답을 보이는 170 km/h, 200 km/h, 290 km/h, 350 km/h, 440 km/h 속도에서 다른 속도에 서의 FFT결과 보다 높은 주파수 대역의 영향이 큼을 확인할 수 있다. 그리 고 Fig. 20 (e) 440 km/h vs 430 km/h에서 교량의 첫 번째 고유진동수와 동일한 진동수에서 큰 진폭을 가지는 것을 볼 수 있다. 이는 속도가 빨라질 수록 β₁값이 공진범위에 근접함으로 교량의 첫 번째 고유진동수의 영향이 커졌음을 예상할 수 있다. 그러므로 Fig. 19(e)의 가속도 시간이력그래프 역시 다른 속도대역과는 다르게 저주파수의 영향이 큰 파형을 보이고 있다. 철도설계기준(노반편,2011)에서 주행열차하중에 대한 동적해석 전에 자 유진동해석을 수행하여 공진을 일으킬 수 있는 공진유발속도를 미리 산정 하기 위하여 식V_cr =d_υf_n/j (j=1, 2, 3...)를 사용하며, 교량의 동적거동 에 가장지배적인 첫 번째 고유진동수를 사용한다. 하지만 가속도응답의 경 우 교량의 첫 번째 고유진동수 뿐만 아니라 고차의 고유진동수 또한 동적거 동에 주요한 영향을 미치므로 위의 공진유발속도만으로 가속도응답의 예 측은 어렵다. 가속도응답의 증가현상을 예측하기 위하여 Fig. 19에서 최대 값을 보이는 주파수대역에서 고차의 고유진동수 f_n와 열차의 가진 진동수 jV/d_υ 의 일치여부를 확인하며 Table 5와 같이 정리 하였다. 그 결과 FFT 분석 시 최대값을 보이는 주파수 대역에서 교량의 고유진동수와 열차의 가 진 진동수가 일치 혹은 근접함을 확인할 수 있고, 가속도의 응답을 증가시키 는 속도를 구할 수 있다.

4.결 론

일정한 축 간격을 가지는 열차의 특성 때문에 철도교량의 경우 공진에 대한 검토가 필수적이다. 그리고 장경간(120 m)이상의 경우, 한국 철도설 계기준(노반편)에서는 상호작용해석을 통하여 면밀한 검토가 필요하다고 언급하고 있다. 본 연구의 대상열차 및 교량은 KTX열차와 타이드 아치교 이다. 대상열차를 10 km/h간격으로 100 km/h ~ 500 km/h까지 대상교량 에 운행 시 생기는 최대응답을 살펴보았고 이에 따른 공진검토를 수행하였 다. 교량의 운동행렬방정식을 만들기 위해 모드중첩법을 사용하였고, 고려 한 모드 수는 1%이내의 오차를 보이는 200개의 모드를 사용하였다. 교량 의 면외 방향의 3차원거동을 살펴보기 위하여 교량의 중심에서 2 m 편심을 주어 열차를 운행하였지만 면외 방향의 3차원효과는 그리 크지 않았다. 그 러나 풍하중이나 지진하중등과 같은 수평방향의 하중이 추가적으로 적용 될 경우, 교량의 3차원 거동은 매우 중요한 요소가 될 수 있다.

교량의 고유진동수와 열차의 유효타격거리에 의하여 계산할 수 있는 공 진유발속도가 103 km/h로 계산되었고, 100 km/h와 110 km/h에서의 시 간이력분석결과 공진에 의하여 정적 처짐에 비하여 큰 처짐을 보였다. 그리 고 속도가 빨라짐에 따라 진동수비가 공진범위 (0.714 ~ 1.414)안으로 들 어가게 되는데, 이 경우 480 km/h에서 최대변위를 보이며 공진이 일어남 을 확인하였다. 그리고 가속도응답의 경우, 식 (12)에 의하여 고차모드의 영향이 큼을 예상할 수 있었고, 가속도 시간이력 분석 및 FFT분석을 통하여 높은 주파수대역의 영향이 큼을 확인했다. 그리고 Fig. 8에서 근접속도대 역에서 보다 큰 응답을 보이는 6개 속도에서 FFT분석 결과 다른 속도대역 에서 보다 높은 주파수 대역에서 큰 진폭값을 가졌고, 그에 의하여 응답의 증가가 발생하였음을 알 수 있었다. 그 응답의 증가를 교량의 고유진동수와 열차의 가진 진동수가 일치하는 조건을 사용하여 Table 5 에 정리하였으며 교량의 고차 고유진동수와 유효타격에 의한 진동수의 정수배 ( j=1, 2, 3, ...) 의 일치로 공진이 발생하였음을 확인 할 수 있었다. 가속도 응답의 증가를 예측하기 위하여 고차의 고유진동수 f_n와 열차의 가진 진동수 jV/d_υ 의 일 치를 만족하는 열차속도는 구할 수 있다. 가속도 응답 역시 속도가 빨라짐 에 따라 진동수비가 증가하게 되고, 공진범위에 근접할수록 교량의 첫 번째 고유진동수의 영향이 커짐을 확인하였다.