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1. 서 론

• 1. 서 론
• 2. 완만한 곡선형 이력거동모델을 이용한 비탄성변위비
• 2.1 완만한 곡선형 이력거동모델
• 2.2 해석에 사용한 근거리 및 원거리 지진
• 2.3 특성주기와 비탄성 변위응답과의 관계
• 2.4 특성주기와 비탄성 변위비와의 관계
• 3. 회귀분석에 의한 특성주기를 반영한 비탄성 변위비 간편식
• 4. 결 론
• / 감사의 글 /

성능-기반 내진설계(performance-based seismic design)에서는 기존의 하중-기반 내진설계와는 달리 변위응답이 주요한 설계 및 내진성능 평가인자이다. 기존의 하중-기반 내진설계는 지진하중을 결정하면 그 이후의 설계과정은 자중에 의한 설계과정과 동일하기 때문에 설계의 간편성과 편리성의 장점이 있지만 비탄성 변위응답을 정확히 예측할 수 없는 단점이 있다. 비탄성 변위응답을 정확히 평가하는 것이 성능-기반 내진설계의 가장 핵심이라고 할 수 있지만, 성능-기반 방법의 대표적인 방법인 역량스펙트럼방법과 변위계수법은 개념적으로나 간편성에서 우수한 방법이지만 아직까지는 정확성이 설계의 목적에 부합되도록 확보되지 못한 단점이 있다. 

비탄성 변위비를 사용하면 탄성 변위응답으로부터 비탄성 변위응답을 간편하게 구할 수 있다. 비탄성 변위비는 성능-기반 방법중에서 변위계수법의 여러 계수 중 하나와 개념적으로 동일하다. 그러므로 비탄성 변위비에 대한 연구는 변위계수법의 정확성을 향상시키는데 기여할 것이다. 기존의 비탄성 변위비에 대한 연구[1-4]는 단순한 형태의 분할선형 이력모델 (piecewise linear hysteretic model)에 대하여 이루어졌으며, 완만한 곡선형 이력거동 모델(smooth hysteretic model)에 대한 연구는 이루어지지 않은 실정이다. 그러므로 본 연구에서는 완만한 곡선형 이력거동 모델에 대한 비탄성 변위비에 대한 연구를 수행하였다. 비탄성 변위응답의 예측을 위해서는 동일 변위 법칙이 널리 사용된다. 동일 변위 법칙은 장주기 구조물에 대하여 적용되며 탄성 변위응답이 비탄성 변위응답보다 같거나 크므로 설계의 목적상 비탄성 변위응답을 탄성변위응답과 동일하다고 간주하는 방법이다. 동일 변위 법칙이 적용되는 구조물의 주기는 지진의 특성주기를 기준으로 정한다. 즉, 특성주기 이상의 주기영역에서는 동일변위법칙이 적용되며 이 규칙은 기존의 탄소성 모델이나 이선형 모델뿐만 아니라 비탄성 변위응답의 크게 발생하는 강성 및 강도저하 모델에 대해서도 정확성이 우수함이 기존 연구[4]를 통해서 입증되었다.  

본 연구에서는 비탄성 변위비의 평가를 위해 지진하중의 특성주기를 적용하였으며, 지진하중을 근거리 지진과 원거리 지진으로 구분하여 비탄성변위비를 평가하였다. 비탄성 변위비의 제안식 작성을 위해서는 60개의 원거리 지진과 72개의 근거리 지진에 대한 비탄성 변위비를 구하고 이를 두단계 비선형 회귀분석 과정을 수행하였다.  

2. 완만한 곡선형 이력거동모델을 이용한 비탄성변위비

2.1 완만한 곡선형 이력거동모델

지반운동 를 받는 완만한 곡선형 이력거동의 비탄성 단자유도계 운동방정식[5,6]은 식 (1)과 같이 나타낼 수 있다.  

여기서, μ(t)는 연성도 응답이며, α는 항복후 강성비이며, C_y는 구조물의 자중에 대한 항복력의 비로 정의되는 항복강도계수이다. z(t)는 항복력에 대한 비탄성 저항력의 비로 정의되는 정규화된 저항력을 나타낸다.

정규화된 저항력 z(t)는 Bouc-Wen 모델[7]을 사용한 다음의 비선형 미분방적식에 종속적인 거동을 한다.  

여기서, p는 비탄성 거동의 완만도 조정지수이다. 만약에  > 0이면 sgn()는 1이며, 반대의 경우에는 sgn()는 -1이다. 

2.2 해석에 사용한 근거리 및 원거리 지진

비탄성 변위응답은 지진의 특성에 따라 큰 차이를 나타내며 특히 근거리 지진은 원거리 지진에 비하여 변위응답이 크게 나타나는 것이 일반적이다. 근거리 지진에 의한 변위응답이 크게 나타난다는 것은 근거리 지진이 구조물에 손상을 크게 유발함을 의미한다. 비탄성 변위비에 대한 지진특성을 반영하기 위하여 입력지진을 근거리 지진과 원거리 지진으로 구분하여 적용하였다. 60개의 원거리 지진과 72개의 근거리 지진의 특성[8]을 Table 1과 Table 2에 정리하여 나타내었다.  

Table 1. Far-fault ground motion records used in this study

Table 1. Continued

Table 2. Near-fault ground motion records used in this study

Table 2. Continued

Table 2. Continued

2.3 특성주기와 비탄성 변위응답과의 관계

지진의 특성주기(T_g)는 입력에너지 스펙트럼의 최대값에 대응되는 주기로서 정의되며[4], Fig. 1에는 특성주기의 계산 예를 근거리 지진인 LA21 가속도기록에 대하여 나타내었다. 지진의 특성주기(T_g)와 비탄성 변위응답의 관계는 밀접한 연관이 있음을 동일변위법칙의 예[4]에서도 알 수 있다. 특성주기보다 긴 주기를 가지는 구조물의 비탄성 변위응답은 탄성변위응답보다 같거나 작게 나타난다. 그러나 특성주기 보다 짧은 주기를 가지는 구조물의 비탄성 변위응답이 탄성변위응답 보다 크게 나타난다. 이와 같은 경향은 입력에너지 스펙트럼의 형상으로부터 개념적으로 설명될 수 있다. 일반적으로 강한 지진에 의해 구조물의 거동이 탄성에서 비탄성으로 변하게 되면 구조부재의 손상 등의 원인으로 강성이 감소하면서 이로 인해 구조물의 진동주기는 길어지게 된다. 특성주기 보다 짧은 주기영역에서는 지진에 의한 탄성거동에서 비탄성 거동으로의 전환에 따른 주기 증가에 따라서 입력에너지가 일반적으로 증가되기 때문에 비탄성 변위응답도 증가되며, 특성주기 보다 긴 주기영역에서는 주기 증가에 따라서 입력에너지가 감소되는 경향 때문에 비탄성 변위응답이 탄성변위응답 보다 작게 나타나는 것이다. 그러므로 입력에너지 스펙트럼의 최대값에 대응되는 주기로 정의되는 특성주기는 동일변위법칙이 적용되는 장주기 영역의 기준 값으로 사용하기에 적합하다.  

해석에 사용한 모든 입력지진에 대하여 입력에너지 스펙트럼을 작성하고 최대입력에너지에 대응되는 특성주기를 구하여 Table 1과 Table 2에 나타내었다. 특성주기 T_g는 근거리 지진이나 원거리 지진의 구분에 상관없이 개별지진에 대하여 상당한 편차(대략 0.18 sec ~ 3.76 sec 범위)를 가지며 다양한 분포를 나타내고 있다. Table 1에 나타낸 60개의 원거리 지진의 T_g의 평균은 0.906 sec이며 Table 2에 나타낸 72개의 근거리 지진의 T_g의 평균은 1.579 sec이다. 근거리 지진의 T_g가 원거리 지진에 비하여 평균적으로 0.67 sec 정도 길다는 것을 알 수 있다. 근거리 및 원거리 지진에 대한 입력에너지 평균스펙트럼(Fig. 2에서 Mean)과 평균 더하기 표준편차 스펙트럼(Fig. 2에서 Mean+σ)을 Fig. 2에 나타내었다. 근거리 지진 및 원거리 지진을 대표하는 특성주기를 구하기 위하여 평균 더하기 표준편차 스펙트럼의 최대값에 대응되는 주기를 특성주기로 구하였으며, 근거리 지진에 대해서는 1.24 sec이고 원거리 지진에 대해서는 0.73 sec 이다. Table 1과 Table 2에 나타낸 특성주기의 평균은 개별지진의 특성주기에 대한 평균이므로 Fig. 2에 나타낸 특성주기와는 구하는 방식에 따른 차이가 있으므로 특정한 경향을 나타내지는 않는다. 그러므로 특성주기는 개별지진에 대하여 구하는 것이 합리적이라고 판단된다. 

비탄성 변위응답에 대한 T_g의 영향을 나타내기 위하여, LA21 지진기록 (T_g=0.857 sec)에 대하여 탄성변위와 연성도에 따른 비탄성 변위를 비교하여 Fig. 3에 나타내었다. 특성주기 보다 짧은 주기영역에서 비탄성 변위는 탄성변위보다 큰 값을 나타내며 그 정도는 연성도가 클수록 크게 나타남을 알 수 있다. 그러나 특성주기 이상의 주기영역에서 비탄성 변위는 탄성 변위 보다 작은 값을 나타내며 연성도에 따른 차이가 크지 않음을 알 수 있다. 

2.4 특성주기와 비탄성 변위비와의 관계

비탄성 변위비는 기존의 많은 연구자[1-4]에 의해 연구되었으며, 비탄성 변위비를 이용하면 탄성 변위로부터 비탄성 변위를 비탄성 시간이력해석을 수행하지 않고도 쉽게 평가할 수 있기 때문에 내진설계 목적 등으로 간편한 식들이 제안되었다. 기존의 비탄성 변위비 제안식은 분할 선형 모델에 대하여 이루어진 것이 대부분이므로 본 연구에서는 실제적인 구조물의 거동을 나타내기에 보다 적절한 완만한 곡선형 이력모델을 사용하여 비탄성변위비를 평가하였다.  

동일연성도 응답스펙트럼에 대한 비탄성 변위비(inelastic displacement ratio) A_μ는 다음과 같이 정의된다.  

여기서, max|r_in|는 비탄성 시스템의 최대변위를 나타내며, max|r_e|는 탄성 시스템의 최대변위를 나타낸다.  

비탄성 변위비를 10개의 연성도(μ=1.5, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)에 대하여 Fig. 4에 나타내었다. 비탄성 변위비의 특성을 고유주기의 경우와 특성 주기로 정규화한 경우에 대하여 비교하여 나타내었다. Kobe(LA21) 지진에 대해서는 비탄성 변위비가 0.8초 이상의 주기 구간에서는 1보다 작은 값을 나타내고, Loma Prieta(NF03) 지진에 대해서는 3초 이상의 주기영역에 대해서 비탄성 변위비는 1보다 작은 값을 가진다. 특성주기로 정규화한 경우(T_n/T_g)에는 이 값이 1보다 큰 영역에서는 A_μ가 1 보다 작은 값을 가진다. 그러므로 특성주기로 정규화하여 비탄성 변위비를 나타내는 것이 회귀분석을 통하여 간편한 제안식을 작성하는 데 유리하며 정확성이 우수하다고 할 수 있다. 일반적으로 비탄성 변위비는 연성도에 비례하여 크게 나타나며 주기가 짧을수록 큰 값을 나타낸다.  

3. 회귀분석에 의한 특성주기를 반영한 비탄성 변위비 간편식

비탄성 변위비에 관한 간편식은 탄성 거동의 경우에 해당하는 연성도인 μ=1인 경우에는 A_μ가 1의 값을 가지는 조건을 만족하도록 식 (4)와 같은 형태로 제안하였다. 이 식은 Fig. 4에 나타낸 것처럼 비탄성 변위비가 연성도에 민감하게 영향을 받으므로 연성도의 함수로 정의하였다.  

비탄성 변위비에 대한 간편식은 지진의 특성주기로 정규화한 경우에 대하여 제안하였다. 구조물의 고유주기를 지진의 특성주기를 나눈 정규화된 주기함수 T_n/T_g를 함수로 하는 비탄성 변위비 제안식의 함수 Φ는 식 (5)와 같이 정의하였다.  

2단계 비선형 회귀분석 과정의 예로서 근거리 지진과 완만도 조정지수 p=1인 경우에 회귀분석과정을 Fig. 5와 Fig. 6에 나타내었다. 회귀분석에 사용한 연성도는 10개(μ = 1.5, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)이나 Fig. 5에는 3개의 연성도(μ = 3, 6, 9)의 경우만 대표적으로 나타내었다. 연성도가 3일 경우에 결정계수(R²)는 0.966이며 연성도가 커질수록 결정계수도 증가하여 연성도가 9일 경우에는 결정계수가 0.99로서 식 (4)와 식 (5)를 사용한 회귀분석이 비교적 정확하다고 할 수 있다. Fig. 6에서 계수 c값은 연성도의 변화에 상관없이 대략 4의 값을 나타내고 있으므로 c값을 4로 고정하고 회귀분석하여 계수 a, b를 연성도의 함수로서 구하였다. Fig. 5에서 T_n/T_g가 1에 가까운 영역에서 비탄성 변위비 A_μ가 1보다 작게 나타났다가(최저점이 약 0.7정도) Tn/Tg가 1이상이 되면 Aμ도 1에 근접한 값을 나타낸다. 이는 특성주기 부근에서 비탄성 변위응답이 탄성변위 응답보다 가장 작게 나타남을 의미한다.  

Fig. 5와 Fig. 6에 나타낸 두 단계 비선형 회귀분석과정을 두 개의 지진 그룹인 근거리 지진과 원거리지진, 6개의 완만도 조절계수에 대하여 수행하여 총 12경우의 회귀분석을 수행하여 제안식의 계수 a, b, c를 구하여 최종적으로 Table 3에 나타내었다.  

Table 3. Coefficients to compute A_μ with constant ductility for smooth hysteretic model (case of T_n / T_g)

Fig. 7에는 식 (5), 식 (6)과 Table 3을 이용한 제안식에 의한 A_μ를 실제 지진기록들에 의해 계산된 A_μ와 비교하여 나타내었다. 제안식에 의한 A_μ와 실제 계산된 A_μ가 비교적 잘 일치함을 알 수 있다. 그리고 A_μ는 연성도가 증가할수록 크게 나타나며, T_n/T_g가 1보다 작은 경우에는 A_μ는 1보다 큰 값을 나타내고 주기가 작은 수록 A_μ는 큰 값을 가지며, T_n/T_g가 1보다 큰 경우에는 A_μ는 1보다 작은 값을 나타냄을 알 수 있다.  

A_μ에 대한 완만도 조정지수 p의 영향을 분석하기 위하여, μ가 7인 경우에 대하여 p가 1, 2, 5, 10인 네가지 경우에 대하여 A_μ를 비교하여 Fig. 8에 나타내었다. 완만도 조정지수가 작을 값일수록 힘-변위 관계의 완만정도가 크게 나타나는 경우인데, Fig. 8을 통하여 p가 작을수록 A_μ가 크게 나타남을 알 수 있으며, 대략적으로 p=1인 경우가 p=10인 경우에 비하여 5% 정도 큰 A_μ 값을 가짐을 알 수 있다.  

근거리 지진에 대한 변위증폭비를 로 정의하고 원거리 지진에 대한 변위 증폭비를 로 정의할 경우에 에 대한 의 비를 구하면 근거리 지진이 원거리 지진에 비하여 변위증폭비가 어떻게 나타나는지를 알 수 있으며 이 A_μ^NF / A_μ^FF계산하여 Fig. 9에 나타내었다. Fig. 9(a)에는 구조물의 고유 주기(Tn)에 대하여 이 A_μ^NF / A_μ^FF를 나타내었는데 대략 2초보다 짧은 주기 영역에서는 A_μ^NF / A_μ^FF가 대략 1~1.6 사이의 값을 가진다. 이는 근거리 지진이 원거리 지지에 비하여 비탄성 변위비가 1~1.6배 정도 크게 나타남을 의미한다. 또한 연성도가 증가할수록 이러한 차이는 증가하는 경향을 나타냄을 알 수 있다. 그러나 주기가 2초부터 긴 주기영역에서는 반대로 A_μ^NF / A_μ^FF가 대력 0.85에서 0.95의 값을 나타낸다. 이는 원거리 지진의 변위증폭비가 근거리지진의 변위증폭비 보다 1.05~1.18배 정도 크게 나타남을 의미한다. 결론적으로 2초보다 짧은 주기영역에서는 근거리 지진의 비탄성 거동에 의한 변위증폭이 원거리 지진보다 크게 나타나고 2초 이상의 주기영역에서는 반대의 경향이 나타남을 의미하는 것이다. 

Fig. 9(b)에는 구조물의 주기를 특성주기로 나누어 정규화한 경우 (T_n/T_g)에 대하여 A_μ^NF / A_μ^FF를 나타내었다. A_μ^NF / A_μ^FF값이 0.8~1.1 사이의 값을 나타내며 T_n/T_g에 대하여 특정한 경향이 없이 불규칙한 특성을 나타낸다. 또한 A_μ^NF / A_μ^FF값에 대한 연성도의 영향도 크지 않음을 알 수 있다.  

4. 결 론

근거리 및 원거리 두 지진그룹에 대하여 완만한 곡선형 이력거동을 사용하여 특성주기를 고려하여 비탄성 변위비를 구하여 비교, 분석하였으며 이를 회귀분석하여 제안식을 작성하였다. 이로부터 얻은 결론은 다음과 같다.  

1) 비탄성 변위비를 간단하게 평가하기 위한 제안식은 μ=1인 경우에 A_μ=1의 값을 가지도록 정의하였으며 이는 탄성거동시에는 비탄성 변위비가 항상 1인 것을 반영하기 위함이다. 지진의 특성주기의 영향을 반영하도록 특성주기로 정규화된 주기 (T_n/T_g)의 함수로 A_μ의 제안식을 2단계 비선형 회귀분석과정을 통하여 제안하였다. 제안된 식은 근거리 지진과 원거리 지진의 특성을 구분하여 반영하며 6개의 완만도 조정지수(p=1, 2, 5, 10, 20, 100)에 대하여 제안하였다.  

2) 구조물의 고유주기(T_n)가 대략 2초보다 짧은 주기영역에서는 대하여서는 근거리 지진에 대한 비탄성 변위비 (A_μ^NF)가 원거리 지진에 대한 비탄성 변위비(A_μ^FF) 보다 대략 1~1.6배 큰 값을 나타낸다. 이러한 경향은 연성도가 증가할수록 크게 나타난다. 구조물의 고유주기(T_n)가 대략 2초 보다 긴 주기영역에서는 근거리 지진에 대한 비탄성 변위비 (A_μ^NF)가 원거리 지진에 대한 비탄성 변위비(A_μ^FF) 보다 대략 0.85~0.95배 작은 값을 나타낸다. 

3) 구조물의 주기를 입력지진의 특성주기로 나누어 정규화한 경우(T_n/T_g)에 대하여 구한 A_μ^NF / A_μ^FF 값이 0.8~1.1 사이의 값을 나타내며 T_n/T_g에 대하여 특정한 경향이 없이 불규칙한 특성을 나타낸다. 이러한 A_μ^NF / A_μ^FF 값에 대한 연성도의 영향도 크지 않음을 알 수 있다.  

4) 비탄성 변위비는 성능-기반 방법중에서 변위계수법의 여러 계수 중 하나와 개념적으로 동일하다. 그러므로 본 연구에서 제안한 비탄성 변위비의 간편식은 변위계수법의 정확성을 향상시키는데 기여할 것이다.  

/ 감사의 글 /

이 논문은 2011년도 정부(교육과학기술부)의 재원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 기초연구사업임(No. 2011-0010930).