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ISSN : 1226-525X(Print)
ISSN : 2234-1099(Online)
Journal of the Earthquake Engineering Society of Korea Vol.29 No.3 pp.181-188
DOI : https://doi.org/10.5000/EESK.2025.29.3.181

Enhanced System Identification and Finite Element Model Updating for Concrete Random Fields

Goh Wonhui1), Chae Yunbyeong2)*
1)Ph.D. Student, Department of Civil & Environmental Engineering, Seoul National University
2)Associate Professor, Department of Civil & Environmental Engineering, Institute of Construction and Environmental Engineering, Seoul National University
*Corresponding author: Chae, Yunbyeong E-mail: ybchae@snu.ac.kr
November 10, 2024 January 31, 2025 February 3, 2025

Abstract


This study proposes an improved method for updating finite element models (FEM) by incorporating the random field characteristics of concrete material properties in reinforced concrete structures. Traditional FEM often assumes homogeneous material properties, which can lead to significant discrepancies between predicted and actual dynamic responses, especially in structures where the Young’s modulus (E) of concrete varies due to factors like curing conditions, material composition, and construction methods. We employed a Gaussian random field model and a system identification (SI) technique to address this limitation to optimize sensor placement. We developed an FEM updating method that incorporates the spatial variability of concrete elasticity. This optimization allowed for a more accurate capture of dynamic properties across various structural locations, resulting in FEM updates that reflect concrete’s inherent heterogeneity. The proposed method was validated through numerical examples, comparing dynamic response accuracy in models before and after updating. Results demonstrated that error values, measured in terms of maximum value error and normalized root mean squared Error (NRMSE), were significantly reduced in the updated models compared to the pre-update model. This approach effectively addresses the limitations of homogeneous assumptions in FEM.


Finite Element Model (FEM) Updating , Random Fields , System Identification (SI) , Sensor Optimization

콘크리트 무작위장에 대한 시스템 식별 및 유한요소모델 업데이트

고원희1), 채윤병2)*
1)서울대학교 건설환경공학부 박사과정
2)서울대학교 건설환경공학부, 서울대학교 건설환경종합연구소 부교수

초록

    1. 서 론

    유한요소해석모델(Finite Element Model, FEM)은 실제 구조물의 다양한 하중에 대한 응답을 예측하고 안전성을 평가하는 데 널리 사용된다. FEM을 통해 하중뿐 아니라 손상이나 열화가 구조물의 성능에 미치는 영향을 분석할 수 있으며, 이를 위해서는 실제 구조물의 특성을 정확하게 반영한 FEM이 필수적이다.

    철근 콘크리트의 주요 재료인 콘크리트는 여러 재료가 혼합된 복합체로, 재료의 배합 비율, 양생 환경, 시공 방법 등의 요인에 따라 내부의 탄성계수 (Young’s modulus, E)가 균일하지 않게 분포한다[1]. 이러한 이유로 구조물 내부에서 재료의 불균질성이 발생하고, 탄성계수의 공간적 변동성(spatial variability)이 나타난다. 그러나 기존 FEM은 구조물의 재료 특성을 균질한 것으로 가정하는 경우가 많다. 따라서, FEM 예측 응답과 실제 구조물의 동적 응답 사이에 차이가 발생할 수 있다. 이러한 차이는 특히 안전성과 내구성을 평가하는 과정에서 오차를 발생시키며, 이는 구조물의 안전관리나 보수 계획에도 영향을 미칠 수 있다. 따라서, 콘크리트의 공간적 변동성을 반영하여 실제 구조물과 부합한 FEM을 구축하는 기술이 필요하다.

    이러한 문제를 해결하는 데 시스템 식별(System Identification) 기법이 유용하게 활용될 수 있다. 시스템 식별 기법은 구조물의 동적 응답을 분석하여 고유 진동수, 감쇠비, 고유 모드 형상 등을 추정함으로써 동적 특성을 파악하는 기술이다[2]. 이를 FEM에 반영하여 실제 거동에 더 가까운 모델을 구축할 수 있게 한다. 특히, 콘크리트 구조물과 같이 재료 특성이 불균일한 경우, 센서를 다양한 공간에 배치하여 동적 특성을 파악하는 것이 중요하며, 이를 기반으로 FEM 모델을 업데이트하여 구조물 특성의 공간적 분포 양상을 반영할 수 있다.

    시스템 식별 결과를 기반으로 FEM의 탄성계수를 업데이트하는 과정에서도 이러한 공간적 변동성을 고려해야 한다. 이는 센서가 설치된 위치뿐만 아니라 다른 위치에서도 재료의 변동성을 반영하여 FEM을 업데이트하는 작업이 필요함을 의미한다. 실제 무작위장을 적용한 FEM 모델링에 관한 연구는 다양한 분야에서 이루어졌으나[3-5], 실험적 데이터를 바탕으로 FEM을 무작위장 개념에 맞추어 업데이트하는 연구는 주로 지반 공학에 집중되어 있다[6,7]. 구조 공학에서는 상대적으로 연구가 부족한 실정이다. 기존 연구들은 센서 개수에 따라 부재를 단순히 분할하여 탄성계수를 조정하였으나, 이는 공간적 변동성을 충분히 반영하지 못하는 한계가 있다[8,9].

    본 연구에서는 이러한 한계를 극복하기 위해 콘크리트의 재료 불균일성을 고려한 시스템 식별 기법 내의 최적 센서 배치 방안과 FEM 업데이트 방법을 제안하고자 한다. 제안된 방법은 구조물의 다양한 위치에서의 동적 특성을 효과적으로 반영하기 위해 센서를 최적 배치하여 측정의 효율성을 높이고, 이를 기반으로 한 FEM 업데이트를 통해 공간적 변동성을 반영한 보다 정확한 구조물 모델을 구축할 수 있다.

    이 논문의 구성은 다음과 같다. 2장에서는 콘크리트 무작위장과 공간적 변동성에 대해 설명하고, 3장에서는 이를 반영한 시스템 식별 기법과 FEM 업데이트 기법을 제시하였다. 4장에서는 수치 예제를 통해 제안된 기법의 효용성을 검증하였으며, 마지막으로 결론을 통해 연구 결과와 의의를 요약하였다.

    2. 콘크리트 무작위장

    콘크리트처럼 물성이 공간적으로 불균질하게 분포하는 재료의 특성을 수학적으로 표현하기 위해 무작위장(random field) 개념이 사용된다. 무작위 장은 주어진 공간 내에서 위치별로 변하는 확률 변수들의 집합으로, 공간적으로 분포된 물리적 특성의 변동을 수학적으로 설명하는 데 매우 유용하다. 무작위장은 특정 위치에서의 물성치가 주변 위치들과 상호 연관되어 변하는 특성을 반영하며, 이를 통해 재료의 내부 구조가 위치에 따라 연속적으로 변화하는 양상을 모델링할 수 있다.

    3차원에서 정의된 무작위장은 다음과 같은 수식으로 표현된다. 수식(1) 에서 x는 공간 내에서 특정 위치를 나타내는 벡터이고, Ω(x)는 해당 위치에서의 확률 변수를 의미한다. 여기서 μ(x)는 평균 함수(mean function)로, 주어진 공간에서 위치별로의 기대값을 나타내며, ϵ(x)는 위치별 변동성을 나타내는 잔차(random fluctuation)이다.

    Ω ( x ) = μ ( x ) + ϵ ( x )
    (1)

    가우시안 무작위장(Gaussian random field)은 가장 널리 사용되는 모델 중 하나로, 무작위장의 확률 변수들이 가우시안 분포를 따를 때 사용된다. 가우시안 무작위장은 확률 변수들의 평균(mean), 공분산 함수(covariance function), 그리고 상관 길이(correlation length)로 정의된다. 공분산 함수(covariance function)는 두 위치 간의 상관성을 나타내며, 두 지점 간의 거리에 따라 확률 변수의 변동성이 어떻게 변화하는지를 설명한다. 상관 길이(correlation length)는 무작위장에서 특정 위치의 물성치가 유의미하게 영향을 미치는 공간적 범위를 정의한다. 상관 길이가 길수록, 무작위장 내 물성치가 더 부드럽게 변하며, 상관 길이가 짧을수록 변동성이 크고 급격하게 변한다.

    본 연구에서는 콘크리트 탄성계수가 가우시안 분포를 따른다고 가정하였으며, 공간적으로 변동하는 탄성계수를 파악하기 위한 시스템 식별과 유한 요소모델 업데이트기법을 다음장에 논의하였다. 또한, Botte et al.[5]이 실험값으로 제안한 탄성계수 상관 길이 362 mm를 사용하여, 한 점으로부터 362 mm 떨어진 지점까지 물성치의 유사성이 유의미하게 유지된다고 가정 하였다. 또한, 콘크리트 탄성계수의 평균값과 변동계수는 31,700 MPa과 0.096으로 고려하였다[10].

    3. 콘크리트 무작위장에 대한 시스템 식별 및 유한 요소 모델 업데이트 절차

    3.1 시스템 식별을 위한 최적 센서 배치

    3.1.1 기존 최적 센서 배치 기법

    구조물의 모드 특성을 파악하기 위해서는 구조물의 다양한 위치에서 동적 응답을 측정하고, 이를 기반으로 시스템 식별을 수행하여 모델 업데이트에 활용하는 것이 중요하다. 하지만 현실적으로는 비용과 효율성 측면에서 제한된 개수의 센서를 설치할 수밖에 없기 때문에, 구조물에서 최적의 위치를 선정하여 센서를 배치해야 한다. 일반적으로 시스템 식별을 위해 구조물에 센서를 배치할 때는 Effective Independence method(EfI) 기법이 많이 사용된다[11]. EfI 기법은 각 센서가 제공하는 모드 형상의 선형 독립성을 최대화하는 방식으로 최적의 센서 위치를 선정하며, 이를 위해 모델 업데이트 전 구조물의 유한요소모델로부터 모드 형상을 분석하여 활용한다.

    본 연구에서는 Li et al.이 기존 EfI 방법의 절차를 약간 변형하여 보다 효율적인 EfI 기법을 제안한 것을 활용하였으며, 이를 수식적으로 정리하면 다음과 같다 [12]. 구조물의 변위는 모드 형상과 모드 좌표로 식(2)와 같이 표현할 수 있으며, 잡음이 포함된 구조물의 변위 측정값은 수식(3)으로 나타낼 수 있다. 이때, 구조물의 변위는{U}, 모드 형상은[ϕ], 모드 좌표는 {q}, 측정 노이즈는 {e}로 정의된다.

    { U } = [ ϕ ] { q }
    (2)

    { U } m e a s u r e d = [ ϕ ] { q } + { e }
    (3)

    노이즈가 포함된 변위 측정값에서 모드 좌표를 추정하기 위해 수식 (4)와 같이 최소제곱법을 적용할 수 있다. 이를 통해 방정식을 수식 (5)으로 세울 수 있으며, 만약 행렬( [ϕ]T [ϕ])이 가역(invertible)이라면 수식 (6)과 같이 모드 좌표를 추정할 수 있다. 추정된 모드 좌표에 모드 행렬을 곱하면 구조물의 변위는 식 (7)로 나타낼 수 있다.

    min q ^ { U } − [ ϕ ] { q ^ } 2
    (4)

    [ ϕ ] T [ ϕ ] { q ^ } = [ ϕ ] T { U }
    (5)

    { q ^ } = ( [ ϕ ] T [ ϕ ] ) − 1 [ ϕ ] T { U }
    (6)

    { U } ≈ [ ϕ ] { q ^ } = [ ϕ ] ( [ ϕ ] T [ ϕ ] ) − 1 [ ϕ ] T { U }
    (7)

    식 (7)에서 [ϕ]T [ϕ]는 EfI기법에서 Fisher 정보 행렬(Fisher Information Matrix)으로 정의된다. Fisher 정보 행렬은 센서 위치의 독립성을 평가하는 데 활용된다. Fisher 정보 행렬의 대각 성분은 각 센서 위치가 독립 성에 기여하는 정도를 나타내며, 독립성이 낮은 위치를 제거해가며 최적의 센서 배치를 찾아낸다. 이 과정을 반복하여 최종적으로 Fisher 정보 행렬의 행렬식이 최대화되는 최적 센서 배치를 도출할 수 있다.

    3.1.2 무작위장에 대한 시스템 식별을 위한 최적 센서 배치

    철근 콘크리트와 같이 재료 특성이 불균질하게 분포하는 구조물의 경우, 다양한 위치에서 구조물의 응답을 수집하여 시스템 식별을 수행하는 것이 중요하다. 기존 EfI 기법은 센서 위치의 독립성만을 고려해 최적의 센서 배치를 도출하지만, 본 연구에서는 독립성이 높은 센서를 선택하는 것뿐만 아니라, 센서 간의 최소 거리를 설정하여 구조물의 다양한 위치에서 동적 특성을 효과적으로 파악할 수 있는 배치를 구성하였다.

    여기서 센서 간 최소 거리는 콘크리트의 탄성계수 무작위장의 상관 길이를 기준으로 설정하였다. 상관 길이는 특정 위치의 특성이 공간적으로 얼마나 멀리까지 영향을 미치는지를 나타내는 척도로, 이를 통해 상관 길이 내에 추가 센서를 배치하지 않음으로써 구조물의 넓은 범위에서 동적 특성을 포착할 수 있도록 하였다.

    기존 EfI 기법에서는 Fisher 정보 행렬의 자유도가 설치할 센서 개수와 일치할 때까지만 반복하였으나, 본 연구에서는 자유도가 1개 남을 때까지 반복하여 제거된 순서의 역순을 최적 배치 순위로 고려하였다. 이러한 절차에 따라 우선순위에 따라 가속도계를 배치하고, 추가 센서를 배치할 때는 최소 거리를 충족하는 위치 중 순위가 가장 높은 위치를 선정하였다. 이 과정을 센서의 개수만큼 반복하여, 콘크리트 구조물의 무작위장을 반영하고 다양한 위치에서 동적 특성을 파악할 수 있는 최적의 센서 배치를 구현하였다.

    3.2 시스템 식별

    본 연구에서는 구조물의 임펄스 응답 데이터를 기반으로 매개변수를 식별하기 위해 Eigensystem Realization Algorithm(ERA) 기법을 사용하였다[13]. ERA는 상태 공간 모델(State-space model)을 사용하는 시스템 식별 기법 중 하나로, 구조물의 임펄스 응답을 바탕으로 고유진동수, 감쇠비, 모드 형상과 같은 동적 특성을 파악하는 데 유용하다. 특히, ERA는 계산 효율성이 뛰어나 복잡한 구조물에서도 효과적으로 적용 가능하다. 상태 공간 모델은 물리적 시스템을 입력, 출력, 상태 변수로 표현하여 구조의 동적 거동을 해석할 수 있게 한다.

    구조물의 동적 거동은 식 (8)과 같은 2차 미분 방정식으로 표현되며, 여기서 q는 모드 좌표를 나타낸다.

    { q ¨ ( t ) } + 2 [ Z ] [ Ω ] { q ˙ ( t ) } + [ Ω ] 2 [ q ( t ) ] = [ ϕ ] T { f ( t ) }
    (8)

    모드 형상이 질량 행렬에 대해 정규화된 경우, 2[Z] [Ω]= [ϕ]T [C] [ϕ]이며, [Ω]2 = [ϕ]T [K] [ϕ]이다. 이때, C와 K는 구조물의 감쇠행렬과 강성행렬을 의미하며, f(t)는 외력을 의미한다. 이를 통해 상태 공간 모델을 구성하면 구조물의 동적 거동은 식 (9)와 같이 1차 미분 방정식으로 변환할 수 있다.

    x ˙ ( t ) = [ A ] x ( t ) + [ B ] f ( t ) y ( t ) = [ G ] x ( t ) + [ D ] f ( t )
    (9)

    x ( t ) = q ( t ) q ˙ ( t )
    (10)

    [ A ] = 0 I − Ω 2 − 2 Z Ω , [ B } = 0 ϕ T
    (11)

    [ G ] = − ϕ d Ω 2 − 2 ϕ d Z Ω ,         [ D ] = ϕ d   T
    (12)

    여기서 {x}는 상태 벡터를 나타내며, 이는 식 (10)과 같이 변위와 속도에 대한 모드 좌표로 정의된다. 본 연구에서는 가속도를 측정값으로 사용하므로, 상태 벡터 {x(t)}와 측정값 {y(t)}간의 관계를 통해 상태 공간 행렬 [G]와 [D]가 식 (12)와 같이 정의된다.

    식 (9)를 이산화하면, k번째 단계에서의 상태 공간 방정식은 식 (13)과 같이 표현할 수 있으며, 여기서 행렬 AD는 이산화된 상태 공간행렬이며, 식 (14)와 같이 정의된다.

    x k + 1 ( t ) = A D x k + [ B ] f k y k = [ G ] x k + D f k
    (13)

    A D = e A Δ t
    (14)

    ERA 기법에서는 Hankel 행렬을 구성하여 상태 공간 모델의 매개변수를 추정한다. 측정값을 기반으로 구성한 Hankel 행렬 [Hk]는 식 (15)와 같이 나타낼 수 있다. k가 1일 때 [Hk]는 식 (16)이며, 식 (17)과 같이 [P]행렬과 [Q] 행렬로 분해될 수 있다.

    [ H k ] = y k ⋯ y k + j − 1 ⋮ ⋱ ⋮ y k + n − 1 ⋯ y k + n + j − 2
    (15)

    H 1 = y 1 ⋯ y j ⋮ ⋱ ⋮ y n ⋯ y n + j − 1 = G B ⋯ G A   D j B ⋮ ⋱ ⋮ G A   D n B ⋯ G A   D n + j
    (16)

    H 1 = G G A D ⋮ G A   D n B A D B ⋯ A   D j B = P Q
    (17)

    이후 Hankel 행렬은 특이값 분해(Singular regularization decomposition, SVD)를 통해 식 (18)의 형태로 분해될 수 있고. 특이값과 특이행렬은 식 (19)와 같이 정리되며, 이를 기반으로 행렬 [A], [B]와 [G]를 도출 할 수 있다.

    H 1 = U Γ 2 V T
    (18)

    P = U Γ , Q = Γ V T
    (19)

    이때, 행렬 [A]의 고유값 분해를 통해 얻은 고유값을 통해 i번째 모드 고유 진동수 fi와 감쇠비 ξi를 계산한다. 행렬 [A]의 고유값을 이용하여 각모드의 고유 진동수와 감쇠비는 식 (20)~(22)와 같이 계산할 수 있다.

    A = ψ Λ ψ − 1 , A ψ i = λ i ψ i
    (20)

    f i = ln λ i 2 π , ξ i = − ( ln λ i ) R ln λ i
    (21)

    Φ = G ψ ,       ϕ i = G ψ i
    (22)

    3.3 Universal Kriging 모델을 활용한 유한요소모델 업데이트

    3.3.1 유한요소모델 업데이트를 위한 목적함수 정의

    유한요소 모델 업데이트는 시스템 식별을 통해 얻은 구조물의 동적 특성과 유한요소 모델의 동적 특성 간의 차이를 줄이기 위해 모델 변수 값을 조정하는 과정이다. 본 연구에서는 유한요소 모델에 정의된 콘크리트의 탄성계수를 조정하여, 실험적으로 구한 구조물의 동적 특성과 일치하는 탄성계수를 도출하는 방법을 채택하였다.

    이를 위해 실험적 동적 특성과 유한요소 모델의 동적 특성 간의 차이를 최소화하는 목적 함수 J(θ)를 수식 (23), (24)와 같이 정의하였다. 여기서 MAC(Modal Assurance Criterion)은 두 모드 형상 간의 일치도를 계산하는 함수로, 일치도가 높을수록 값이 1에 가까워진다. 목적 함수 J(θ)는 탄성계수 업데이트 파라미터 θ의 함수로 표현되며, 업데이트된 탄성계수 Eupdated 는 식 (25)와 같이 정의된다.

    J ( θ ) = ∑ i = 1 mod e r f , i r M A C , i r f , i r M A C , i
    (23)

    r f , i r M A C , i = f Exp, i − f i ( E u p d a t e d ) 1 − M A C ( ϕ Exp , i , ϕ , i ( E u p d a t e d ) )
    (24)

    E u p d a t e d , j = E j + θ j E j
    (25)

    여기서 Ej는 초기 유한요소 모델의 탄성계수이고, θj는 위치 j에서 탄성계수의 변화를 나타내는 조정 파라미터이다. 최적화 과정을 통해 각 θj값을 결정함으로써 구조물의 실험적 특성과 일치하는 유한요소 모델을 얻을 수 있다.

    한편, 각 센서 위치에서의 탄성계수 변화가 목적 함수에 미치는 민감도는 위치마다 다르다. 민감도가 높은 위치에서는 작은 탄성계수 변화에도 목적 함수가 크게 변하는 반면, 민감도가 낮은 위치에서는 큰 탄성계수 변화가 있어도 목적 함수 값에 큰 영향을 미치지 않는다. 이로 인해 최적화 과정에서 민감도가 낮은 위치에서 발산이 발생할 수 있으며, 이는 잘못된 업데이트 결과를 초래할 가능성이 있다.

    이러한 발산을 방지하기 위해 본 연구에서는 Tikhonov 정규화(Tikhonov Regularization) 기법을 적용하여 목적 함수를 안정화하였다. 이를 통해 목적 함수가 각 위치의 민감도 차이에 의한 영향을 덜 받도록 한다. 정규화된 목적 함수는 식 (26)과 같이 정의된다.

    J λ ( θ ) = J ( θ ) + λ ∑ j = 1 N θ   j 2
    (26)

    여기서 λ는 정규화 파라미터로, 민감도의 균일성을 제어하기 위해 그 값을 설정할 수 있다. 일반적으로 λ는 L-curve 기법을 통해 최적의 값을 찾는다. L-curve는 정규화 파라미터 값에 따른 목적 함수 값과 정규화 항의 크기 간 의 균형을 그래프로 표현하여 최적의 λ를 선택할 수 있게 한다.

    3.3.2 유한요소모델 업데이트를 위한 최적화 과정

    본 연구에서는 최적화 과정에서 콘크리트의 탄성계수가 공간적 변동성을 가진 무작위장이라는 점을 반영하기 위해 Universal Kriging 모델을 활용하였다. Universal Kriging은 Ordinary Kriging과 달리, 회귀 모델을 사용하여 데이터의 공간적 경향성과 상관성을 더욱 유연하게 반영할 수 있다. 각 센서 위치에서 최적화된 탄성계수는 목적 함수 Jλ (θ)의 결과에 따라 도출되며, 이러한 최적화된 값을 바탕으로 Universal Kriging 모델을 사용해 구조물 전체의 탄성계수를 예측하고 보간하였다. Universal Kriging 모델은 센서 위치에서 측정된 탄성계수 값을 기반으로 공간적 상관성을 학습하여, 측정되지 않은 영역의 탄성계수를 추정할 수 있도록 한다.

    유한요소 모델 업데이트는 다음의 절차를 따른다:

    • 1) 초기 탄성계수 설정: 구조물 내 각 요소의 초기 탄성계수를 평균값으로 설정하고, 이를 바탕으로 초기 유한요소 모델을 생성한다.

    • 2) 실험적 동적 특성과 비교: 시스템 식별 기법을 통해 실험적으로 얻은 구조물의 동적 특성과 초기 유한요소 모델의 동적 특성을 비교하여 차이를 확인한다.

    • 3) 목적 함수 계산: 수식 (23), (24), (26)에서 정의된 목적 함수 Jλ (θ)를 사용하여 실험적 모드 형상과 유한요소 모델 모드 형상 간의 일치도를 평가한다. 그 후, 목적 함수 Jλ (θ)의 값이 감소하는 방향으로 각 센서 위치에서 탄성계수를 조정한다.

    • 4) Universal Kriging 모델을 통한 탄성계수 보간: 각 센서 위치에서 최적화된 탄성계수를 기준으로 Universal Kriging 모델을 적용하여, 측정되지 않은 위치의 탄성계수를 보간한다. 이를 통해 구조물 전체에 대한 탄성계수 분포를 예측한다.

    • 5) 유한요소 모델 업데이트: Universal Kriging 모델로 보간된 탄성계수를 사용하여 유한요소 모델을 업데이트한다. 이를 통해 유한요소 모델이 시스템 식별 기법으로 측정한 구조물의 동적 특성에 더욱 근접하도록 한다.

    • 6) 반복: 단계 2)~5)까지의 과정을 반복하여, 목적 함수 Jλ (θ)이 0에 수렴하는 최적의 탄성계수 값을 도출한다.

    이 과정을 통해 유한요소 모델은 구조물의 공간적 변동성을 반영한 탄성 계수 분포를 적용하게 되며, 실제 동적 특성과 더 일치하는 모델을 구축할 수 있다.

    4. 수치예제를 통한 검증

    4.1 콘크리트 무작위장 모델링 및 대상구조물

    본 연구에서는 높이 1 m, 너비 2 m, 두께 0.8 m의 고정단 구조물을 검증 대상으로 선정하였다. 이 구조물은 2차원 shell 구조물로 간주되었으며, 유한 요소는 Q4 요소를 사용하여 모델링하였고, 요소 크기는 40 mm로 설정하였다.

    콘크리트는 공간적 변동성을 지닌 재료로, 위치에 따라 탄성계수가 달라질 수 있다. 이를 효과적으로 모델링하기 위해, 본 연구에서는 무작위장 개념을 적용하여 콘크리트의 탄성계수가 공간적으로 다양한 값을 가질 수 있도록 설정하였다.

    특히, 콘크리트의 탄성계수가 가우시안 분포를 따른다고 가정하고, 이를 기반으로 가우시안 무작위장을 생성하였다. 가우시안 무작위장은 Cholesky 분해(Cholesky decomposition) 기법을 사용하여 구현되었으며, 이를 통해 구조물 내부의 각 위치에서 독립적으로 생성된 확률 변수 값이 연결되어 전체적인 탄성계수 분포를 구성하게 된다.

    유한요소 모델에 무작위장을 적용하기 위해서는 무작위장의 이산화 (discretization) 과정이 필요하다. 본 연구에서는 이산화 방법으로 중점 방법(Midpoint method)을 채택하였다. 중점 방법은 유한요소 모델의 각 요소 중심에서 무작위장의 값을 생성하여 이를 해당 요소의 대표 탄성계수로 사용하는 방식이다. 평균 탄성계수는 31,700 MPa, 변동성은 9.6%로 설정 되었으며, 공분산 함수로는 exponential 함수를 사용하였고, 상관관계 길이는 362 mm로 고려하였다. 이 과정을 통해 각 요소에 독립적인 탄성계수 값이 할당되었으며, 최종적으로 모델링된 콘크리트의 탄성계수 무작위장은 Fig. 1에 제시되어 있다.

    대상 구조물과 비교할 업데이트 초기 유한요소모델(Initial FEM)은 구조물 전체의 탄성계수를 균일하게 31,700 MPa로 설정하여 정의하였다. 또한, 실제 구조물이 유한요소모델보다 훨씬 높은 자유도를 가지는 특성을 반영하기 위해, 대상 구조물과 초기 유한요소모델의 요소 크기를 다르게 설정하였다. 이에 따라, 초기 유한요소모델의 요소 크기는 50 mm로 설정되었다.

    4.2 무작위장에 대한 시스템 식별

    구조물의 동적 특성을 효과적으로 파악하기 위해서는 최적의 센서 위치를 선정하여 구조물의 응답을 측정하는 것이 중요하다. 특히, 무작위장을 지닌 콘크리트 구조물은 위치에 따라 재료 특성이 다르기 때문에, 다양한 위치에서의 동적 특성을 반영하는 센서 배치가 필요하다. 본 연구에서는 제안한 최적 센서 배치 기법을 적용하였으며, 센서 간 최소 거리는 탄성계수의 상관 길이인 362 mm로 설정하였다. Fig. 1에서 검정색 점으로 표시된 위치가 가속도 응답을 측정할 센서 위치를 나타낸다.

    대상 구조물의 자유단 상단에 1 kN의 하중을 0.2초 동안 임펄스 하중 (impulse load)으로 가하였다. 임펄스 하중 이후 유발된 자유 진동(free vibration)에 대한 가속도 응답을 Fig. 1의 검정색 점 위치에서 시간 간격 Δ t=0.002s로 2초 동안 추출하였다. 수집된 가속도 응답 데이터를 ERA 시스템 식별 기법에 적용하여 구조물의 동적 특성을 분석하였다. 시스템 식별 결과는 안정화 다이어그램(stabilization diagram)을 사용하여 평가하였다.

    안정화 다이어그램은 시스템의 차수를 증가시키며 반복적으로 계산 한 후, 이전 차수와 현재 차수의 결과를 비교하여 수렴성을 평가하는 방법이다. 본 연구에서는 고유진동수의 경우 이전 차수와의 차이가 1% 미만일 때, 감쇠비는 5% 미만일 때, 그리고 모드 형상 벡터는 두 결과가 99% 이상 일치할 때 수렴으로 간주하였다. 이러한 기준을 모두 만족하는 경우를 식별된 모달 특성으로 판단하였으며, 안정화 다이어그램에서 시스템 차수가 증가해도 모든 모달 특성이 지속적으로 수렴하는 부분을 최종적으로 식별된 모드로 간주하였다. 안정화다이어그램 결과는 Fig. 2에 제시되어 있다. 다이어그램 내에 저차 4개의 모드가 식별된 것을 알 수 있으며, 식별된 모드는 Table 1과 Fig. 4에 정리된 대상구조물의 모달 특성과 일치하였다.

    4.3 유한요소모델 업데이트

    4.3.1 유한요소모델 업데이트를 위한 최적화

    유한요소 모델 업데이트 과정에서 구조물의 공간적 변동성을 반영하여 대상 구조물과 더 부합하는 모델을 도출할 수 있는지 확인하기 위해, 공간적 변동성을 고려한 업데이트 결과와 전체 구조물에 동일한 탄성계수를 적용한 모델의 업데이트 결과를 비교하였다.

    공간적 변동성을 고려하여 업데이트 할 경우, 유한요소 모델 업데이트 과정에서는 각 센서의 민감도가 다를 수 있으며, 민감도가 낮은 위치에서 발산이 발생할 가능성이 있다. 이를 방지하고 최적화의 안정성을 높이기 위해 목적 함수에 정규화 함수를 추가하였다. 각 경우에 적절한 정규화 파라미터를 설정하기 위해, 정규화 파라미터 λ값을 10-5에서 10-3까지 200개의 포인트로 설정하고, 각 값에 대해 최적화 결과를 도출하였다. 이 최적화 결과를 기반으로 Fig. 3과 같이 L-curve를 작성하였으며, 각 포인트의 곡률을 계산하여 도시하였다. 곡률이 최대인 지점을 각 경우의 최적 정규화 파라미터로 선정하였다. 이에 따라 정규화 파라미터는 3.04*10-4로 도출되었다.

    4.3.2 유한요소모델 업데이트 결과

    도출된 최적 정규화 파라미터를 이용해 공간적 변동성을 고려한 업데이트를 수행하였으며, 공간적 변동성을 고려하지 않은 경우는 정규화 파라미터 없이 동일한 과정으로 업데이트를 수행하였다. 두 업데이트 모델에 대해 고유치 해석을 실시하였고, 대상 구조물과 두 업데이트 모델의 저차 4개 모드에 대한 고유진동수 결과를 Table 1에 정리하였다.

    Table 1에서 보이듯, 공간적 변동성을 반영한 업데이트 모델은 모든 모드에서 실험 결과와 평균 1% 이내의 오차를 보였다. 반면, 공간적 변동성을 고려하지 않은 모델은 4차 모드에서 약 2.2%의 오차를 기록하였다. 모드 형상 비교 결과는 Fig. 4에 시각적으로 표현하였으며, 공간적 변동성을 반영한 모델의 모드 형상이 대상 구조물의 실험 결과와 일치함을 확인하였다. 이는 공간적 변동성을 반영한 유한요소 모델이 구조물의 동적 특성을 보다 정밀히 재현했음을 의미한다.

    또한, 공간적 변동성을 반영하여 업데이트된 탄성계수 분포는 Fig. 5에 도시하였다. 공간적 변동성을 고려한 모델과 고려하지 않은 모델 간의 탄성 계수 오차율 비교 결과를 Table 2에 정리하였다. 평균 오차율은 공간적 변동성을 반영한 경우 6.27%로, 고려하지 않은 경우의 8.00%보다 개선되었다.

    업데이트된 수치 모델에 동일한 임펄스 하중을 가하여 동적 응답을 평가하였다. 동적 응답에 대한 오차율은 최댓값 오차와 정규화 평균 제곱근 오차(Normalized Root Mean Squared Error, NRMSE)로 각각 분석하였다. NRMSE는 시간에 따른 응답 오차의 크기를 종합적으로 고려할 수 있으며, 이에 대한 계산식은 수식 (27)과 같다.

    N R M S E = ∑ i = 1 n ( y i − y i ^ ) 2 ∑ i = 1 n y   i 2
    (27)

    변위 응답과 응력에 대한 오차율은 Table 3에 정리하였다. 변위 응답 분석에서 공간적 변동성을 반영한 모델이 NRMSE와 최대 오차율에서 모두 낮은 값을 기록하였다. 응력 응답에서도 공간적 변동성을 반영한 모델이 더 낮은 오차율을 보여, 제안된 방법이 구조물의 동적 응답 특성을 정밀히 재현할 수 있음을 확인하였다.

    5. 결 론

    본 연구는 철근 콘크리트 구조물의 공간적 변동성을 반영한 유한요소 모델 업데이트 방법을 제안하였다. 이를 위해 콘크리트의 무작위장 특성을 모델링하고, 센서 배치를 최적화한 후 탄성계수 분포를 업데이트하는 방법을 도입하였다.

    연구 결과, 공간적 변동성을 반영한 유한요소 모델이 기존 균질한 재료 가정 모델에 비해 구조물의 동적 특성을 더욱 정밀히 재현할 수 있음을 확인하였다. 변위 및 응력 응답 분석에서 공간적 변동성을 반영한 모델이 NRMSE와 최대 오차율에서 모두 낮은 값을 기록하였으며, 고유치 해석 결과에서도 실험과의 높은 일치도를 보였다.

    이 연구는 철근 콘크리트 구조물의 동적 안정성 평가와 유지 보수 계획 수립에 있어 중요한 기초 자료를 제공하며, 향후 다양한 구조물의 동적 특성 분석 및 설계에 폭넓게 활용될 것으로 기대된다.

    / 감사의 글 /

    본 연구는 2022년도 정부(과학기술정보통신부)의 재원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구임(No. RS-2022-00144434).

    Figure

    EESK-29-3-181_F1.gif

    Numerical model's random field for Young's modulus

    EESK-29-3-181_F2.gif

    Stabilization diagram for SI results

    EESK-29-3-181_F3.gif

    L-Curve for regularization parameter selection

    EESK-29-3-181_F4.gif

    Mode shape comparison of target structure and updated FEM: (a) 1st mode, (b) 2nd mode, (c) 3rd mode, (d) 4th mode

    EESK-29-3-181_F5.gif

    Updated distribution of concrete Young’s modulus in the FEM considering spatial variability

    Table

    Comparison of modal frequencies between the target structure and updated FEM

    Young's modulus error rates for updated FEM with and without spatial variability

    Comparison of dynamic response errors for updated FEM with and without spatial variability

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    Publisher Earthquake Engineering Society of Korea
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